Partie 1 – Analyse
Critères de convergence
• Intégrales de Riemann
1
0
1
t a dt est convergente ssi a < 1
Montrons par exemple que l’intégrale
1
0
1
√
t
dt est convergente. La
fonction t →
1
√
t
est continue sur ]0, 1], et, avec 0 < x < 1 :
1
x
1
√
t
dt =
2
√
t
1
x
= 2 − 2
√
x −−→
x→0
2
L’intégrale
1
0
1
√
t
dt est donc convergente, et
1
0
1
√
t
dt = 2.
• Cas des fonctions positives
f 0, g 0 sur [a, +∞[
f ∼
+∞
g
⇒
+∞
a
f (t) dt et
+∞
a
g(t) dt sont
de même nature, convergente ou divergente
Intégrale
1
0
t+1 √
t
dt. La fonction t →
t+1 √
t
est positive et continue sur
]0, 1] ; En 0,
t+1 √
t
∼
1
√
t
, et l’intégrale
1
0
1
√
t
dt est une intégrale de
Riemann convergente. Donc l’intégrale
1
0
t+1 √
t
dt est convergente.
3.3 Intégrale sur un intervalle [a, +∞[, ]−∞, b]
Définitions
Soit a ∈ R, et f une fonction continue sur [a, +∞[. On pose
+∞
a
f (t) dt = lim
X→+∞
X
a
f (t) dt sous réserve de limite finie,
et on dit alors que l’intégrale généralisée (ou impropre)
+∞
a
f (t) dt
est convergente. Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente.
On définit de même, avec f continue sur ]−∞, b] :
b
−∞
f (t) dt = lim
X→−∞
b
−∞
f (t) dt sous réserve de limite finie
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