Chapitre 3 – Calcul intégral
Intégrale
+∞
0
x
(x 2 +1)
2 dx. La fonction x →
x
(x 2 +1)
2 est continue sur
[0, +∞[, et
X
0
x
x 2 + 1
2 dx =
−
1
2
×
1
x 2 + 1
X
0
= −
1
2
X 2 + 1
+
1
2
−−−−→
X→+∞
1
2
L’intégrale est donc convergente, et
+∞
0
x
x 2 + 1
2 dx =
1
2
Critères de convergence
• Intégrales de Riemann
L’intégrale
+∞
1
1
t a dt converge ssi a > 1
En effet, la fonction t →
1
t a est continue sur [1, +∞[, et :
Si a = 1,
X
1
1
t a dt =
X
1
t −a dt =
t
−a+1
−a+1
X
1
=
X
1−a
1−a −
1
1−a tend vers
une limite finie en +∞ ssi a > 1 . Avec
a = 1,
X
1
1
t
dt = ln X
+
−−−−→
X→+∞
∞.
Attention au comportement différent des intégrales de Riemann suivant l’intervalle :
1
0
1
t a dt est convergente ssi a < 1 ;
+∞
1
1
t a dt est convergente ssi a > 1.
• Cas des fonctions positives
0 f g sur [a, +∞[
+∞
a
g(t) dt convergente
⇒
+∞
a
f (t) dt convergente
0 f g sur [a, +∞[
+∞
a
f (t) dt divergente
⇒
+∞
a
g(t) dt divergente
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