Partie 1 – Analyse
f 0, g 0 sur [a, +∞[
f ∼
+∞
g
⇒
+∞
a
f (t) dt et
+∞
a
g(t) dt de
même nature, convergente ou divergente
f 0, g 0 sur [a, +∞[
f =
+∞
◦ (g)
+∞
a
g(t) dt convergente
⎫
⎬
⎭
⇒
+∞
a
f (t) dt convergente
Pour démontrer le premier critère, on considère w(x) =
x
a f (t) dt.
Sur [a, +∞[, w est croissante, car w (x) = f (x) 0, et majorée, car
w(x)
x
a
g(t) dt
+∞
a
g(t) dt = M ∈ R. w admet donc une limite
finie en +∞, ce qu’il fallait démontrer.
On a les critères analogues pour les intégrales
b
−∞ f (t) dt.
• Fonctions de signe quelconque
Définition. On dit que l’intégrale
+∞
a
f (t) dt est absolument convergente ssi l’intégrale
+∞
a
|f (t)| dt est convergente.
Théorème. Si l’intégrale
+∞
a
f (t) dt est absolument convergente,
alors elle est convergente.
On a le théorème analogue pour l’intégrale
b
−∞ f (t) dt.
Remarque. On a alors
+∞
a
f (t) dt
+∞
a
|f (t)| dt, et de même pour
b
−∞ f (t) dt.
3.4 Cas général — Calcul d’intégrales généralisées
Cas général
Dans le cas général, avec −∞ a < c < b +∞, on dira que
l’intégrale
b
a
f (t) dt est convergente ssi chacune des intégrales
c
a
f (t) dt,
b
c
f (t) dt l’est, et on a alors (relation de Chasles) :
b
a
f (t) dt =
c
a
f (t) dt +
b
c
f (t) dt
ce qui permet de proche en proche de se ramener à un des cas étudiés
précédemment, étant entendu qu’une intégrale définie est convergente.
Intégrale
+∞
0
1
t 2 +1 dt. La fonction t →
1
1+t 2 est continue et positive
sur [0, +∞[ ;
1
t 2 +1 ∼
+∞
1
t 2 (ou bien : pour tout t 1,
1
t 2 +1
1
t 2 ) ;
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