Chapitre 3 – Calcul intégral
L’intégrale
+∞
1
1
t 2 dt est une intégrale de Riemann convergente.
Donc l’intégrale
+∞
1
1
t 2 +1 dt est convergente, et d’après la relation de
Chasles, l’intégrale
+∞
0
1
t 2 +1 dt =
1
0
1
t 2 +1 dt +
+∞
1
1
t 2 +1 dt est aussi
convergente (
1
0
1
t 2 +1 dt est une intégrale définie.)
Utilisation de la parité
Soit f une fonction définie sur R et telle que
+∞
0
f (t) dt converge.
• Si f est paire, alors
+∞
−∞ f (t) dt converge, et
+∞
−∞
f (t) dt = 2
+∞
0
f (t) dt
• Si f est impaire, alors
+∞
−∞ f (t) dt converge, et
+∞
−∞
f (t) dt = 0
Intégrale
+∞
−∞ exp
−t
2
/2
dt. f : t → exp
−t
2
/2
est continue et
positive ou nulle sur [0, +∞[, négligeable devant
1
t 2 quand t tend vers
+∞.
+∞
1
1
t 2 dt est convergente, donc
+∞
0
exp
−t
2
/2
dt est convergente. f est paire, donc l’intégrale
+∞
−∞ exp
−t
2
dt est convergente,
et
+∞
−∞ exp
−t
2
dt = 2
+∞
0
exp
−t
2
dt
Calculs d’intégrales généralisées
• Utilisation de la définition. Soit I =
+∞
1
e
1
x
x 2 dx
La fonction f : x →
1
x 2 exp
1
x
est continue sur [1, +∞[, donc
I = lim
X→+∞
X
1
e
1
x
x 2 dx sous réserve de limite finie.
Or
X
1
e
1
x
x 2 dx =
−e
1
x
X
1
= −e
1
X + e −−−−→
X→+∞
e − 1
Donc l’intégrale I est convergente, et vaut e − 1.
• Utilisation de la définition et d’une relation de récurrence.
Soit I n =
+∞
0
t
n e −t dt, n ∈ N. On peut prouver que l’intégrale I n est
103