Chapitre 3 – Calcul intégral
2.2 Calculs d’intégrales
Intégration « à vue »
On écrit
b
a
f (t) dt = [F(t)]
b
a = F (b) − F (a)
où F est une primitive de f sur I , avec a et b dans I.
•
1
0
e
−t dt =
−e
−t
1
0
= −e
−1
−
−e
0
= 1 −
1
e
Une primitive de u e
u est e
u . Ici u = −t , u = −1 , e −t = −u e
u , d’où
le résultat.
•
1
0
x
x 2 + 1
dx =
1
2
ln
x
2 + 1
1
0
=
1
2
ln 2
On repère que la fonction à intégrer est de la forme k
u
u , dont une
primitive est k ln |u|. Ici u = x
2 + 1 > 0, u = 2x, k =
1
2 , d’où le
résultat.
• Même principe pour
1
0
x
x 2 + 1
2 dx =
−
1
2
1
x 2 + 1
1
0
=
1
4
Une primitive de
u
u 2 est −
1
u . On commence par écrire
1
x 2 +1 dans le crochet, on dérive mentalement, et on ajuste la constante multiplicative.
•
1
0
x
√
x 2 + 1
dx =
√
x 2 + 1
1
0
= 1
•
1
0
t
2
+
1
2t + 1
+ 2e
3t
− 1
dt =
t
2
4
+
1
2
ln (2t + 1) +
2
3
e
3t
− t
1
0
On trouve une primitive d’une somme en prenant une somme de primitives, une primitive de au (a constante) en multipliant une primitive
de u par a. Tous calculs fait on trouve
ln 3
3 +
2e
3
3 −
13
12 .
Intégration par parties
Soit I un intervalle, a et b deux éléments de I, u et v deux fonctions
de classe C
1 sur l’intervalle I.
Alors
b
a
u(t)v
(t) dt = [u(t)v(t)]
b
a −
b
a
u
(t)v(t) dt
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