Partie 1 – Analyse
Par conséquent
f (x 0 )
F(x) − F(x 0 )
x − x 0
f (x)
f est continue en x 0 , donc en passant à la limite dans cette double
inégalité, on obtient F
d (x 0 ) = f (x 0 ). On obtient de la même manière
F
g (x 0 ) = f (x 0 ), donc F (x 0 ) = f (x 0 ) en tout x 0 ∈ I. F est donc la
primitive de f sur [a, b] qui s’annule en a. On est conduit ainsi à donner
la définition suivante :
Définition. Soit I un intervalle, a et b deux éléments de I, et f une
fonction continue sur I. L’intégrale de a à b de la fonction f est le
nombre réel défini par :
b
a
f (t) dt = F (b) − F (a)
où F est une primitive de f sur I.
• f est continue sur I, donc admet des primitives. Deux primitives de f
sur I diffèrent d’une constante, la valeur de l’intégrale ne dépend donc
pas de la primitive choisie.
• On lit « somme de a à b de f (t)dt ». Ne pas omettre le symbole différentiel « dt », qui indique la variable d’intégration t.
• Dans l’écriture
b
a f (t) dt, t est une variable muette, a et b sont des
variables libres. La valeur de l’intégrale ne dépend pas de t, mais dépend
a priori de a et b. Ainsi
b
a
f (t) dt =
b
a
f (x) dx
Interprétation en termes d’aire. Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur l’intervalle [a, b].
Le plan est rapporté au repère orthogonal
O ; i, j
.
Alors l’intégrale
b
a f (t) dt est égale à l’aire du domaine plan limité par
l’axe des abscisses (Ox), les droites d’équation y = a, y = b, et la courbe
d’équation y = f (x). Cette aire est exprimée en unités d’aire (u.a), aire
du rectangle de cotés i , j .
Attention aux hypothèses a b et f 0. Si elles ne sont pas vérifiées, le
résultat ne subsiste pas, voir § 3.3.4.
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Par conséquent
f (x 0 )
F(x) − F(x 0 )
x − x 0
f (x)
f est continue en x 0 , donc en passant à la limite dans cette double
inégalité, on obtient F
d (x 0 ) = f (x 0 ). On obtient de la même manière
F
g (x 0 ) = f (x 0 ), donc F (x 0 ) = f (x 0 ) en tout x 0 ∈ I. F est donc la
primitive de f sur [a, b] qui s’annule en a. On est conduit ainsi à donner
la définition suivante :
Définition. Soit I un intervalle, a et b deux éléments de I, et f une
fonction continue sur I. L’intégrale de a à b de la fonction f est le
nombre réel défini par :
b
a
f (t) dt = F (b) − F (a)
où F est une primitive de f sur I.
• f est continue sur I, donc admet des primitives. Deux primitives de f
sur I diffèrent d’une constante, la valeur de l’intégrale ne dépend donc
pas de la primitive choisie.
• On lit « somme de a à b de f (t)dt ». Ne pas omettre le symbole différentiel « dt », qui indique la variable d’intégration t.
• Dans l’écriture
b
a f (t) dt, t est une variable muette, a et b sont des
variables libres. La valeur de l’intégrale ne dépend pas de t, mais dépend
a priori de a et b. Ainsi
b
a
f (t) dt =
b
a
f (x) dx
Interprétation en termes d’aire. Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur l’intervalle [a, b].
Le plan est rapporté au repère orthogonal
O ; i, j
.
Alors l’intégrale
b
a f (t) dt est égale à l’aire du domaine plan limité par
l’axe des abscisses (Ox), les droites d’équation y = a, y = b, et la courbe
d’équation y = f (x). Cette aire est exprimée en unités d’aire (u.a), aire
du rectangle de cotés i , j .
Attention aux hypothèses a b et f 0. Si elles ne sont pas vérifiées, le
résultat ne subsiste pas, voir § 3.3.4.
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