Partie 1 – Analyse
calcul, on écrit, sous réserve de convergence,
+∞
n=1
n
2 x
n
=
+∞
n=1
(n (n − 1) + n) x
n
= x
2
+∞
n=2
n (n − 1) x
n−2 + x
+∞
n=1
nx
n−1
On a donc une combinaison linéaire de séries convergentes (séries géométriques dérivées premières et secondes, de raison x ∈ ]−1, 1[), dont
les sommes sont connues ; la série est donc convergente, et tous calculs
faits on trouve
+∞
n=1
n
2 x
n
=
x (x + 1)
(1 − x)
3
On peut aussi obtenir la somme d’une série quand les sommes partielles
se prêtent à des simplifications (« dominos », « téléscopage »).
Montrons que la série
k2
1
k(k−1) est convergente, et calculons sa
somme, en revenant à la définition. La somme partielle de rang n est :
S n =
n
k=2
1
k (k − 1)
=
n
k=2
1
k − 1
−
1
k
=
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
· · · +
1
n − 1
−
1
n
= 1 −
1
n
Par conséquent la série est convergente, et
+∞
k=2
1
k (k − 1)
= 1
5. Suites définies implicitement
On entend par là les suites (u n ) où u n est défini par une condition du
type f n (u n ) = 0. Il s’agit d’un thème d’exercices, aucune connaissance
spécifique n’est nécessaire. Les outils utilisés sont :
• le théorème de la bijection monotone, pour prouver l’existence et
l’unicité de u n ;
• le sens de variations de f n , pour majorer (ou minorer) u n . Par exemple
si f n est strictement croissante, f n (0) < 0 et f n (1) > 0, alors 0 < u n < 1 ;
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