Chapitre 2 – Suites et séries numériques
• le sens de variations de f n peut permettre aussi d’étudier le sens de
variations de (u n ). En effet, supposons par exemple que f n est strictement croissante pour tout n, et que f n+1 (u n ) > 0. On a alors :
f n+1 (u n+1 ) = 0 ; f n+1 (u n ) > 0 ; f n+1 strictement croissante ; donc u n > u n+1 ,
et (u n ) est strictement décroissante. Un tableau de variation peut aider
l’intuition :
x
u n+1
u n
f n+1 (x)
0
> 0
• la définition même de u n par la condition f n (u n ) = 0. On ne cherchera
pas à déterminer une expression explicite de u n , moins que cela ne soit
demandé par l’énoncé.
– Pour n ∈ N ∗ , le théorème de la bijection monotone appliqué à
f n : x → x
5 + nx − 1 montre qu’il existe un unique réel u n tel que
f n (u n ) = 0.
– f n (0) = −1 < 0, f n
1
n
=
1
n 5 > 0, f n est strictement croissante, donc
0 < u n <
1
n , et par encadrement : (u n ) converge vers 0.
– Pour tout n 1, f n+1 (u n ) = u n > 0, f n+1 (u n+1 ) = 0, f n+1 est strictement croissante, donc u n+1 < u n , la suite (u n ) est décroissante.
– f n (u n ) = u
5
n + nu n − 1 = 0, donc nu n = 1 − u
5
n tend vers 1 quand n
tend vers +∞, donc u n est équivalent à
1
n quand n tend vers +∞.
– À partir de u
5
n + nu n − 1 = 0, on peut alors obtenir un équivalent de
1
n − u n quand n tend vers +∞ :
u
5
n
n
+ u n −
1
n
= 0 ;
1
n
− u n =
u
5
n
n
∼
n→+∞
1
n 6
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