Chapitre 2 – Suites et séries numériques
4.4 Calculs de sommes de séries
Théorème. Soit a, b deux nombres réels, et soit deux séries
convergentes, de termes généraux u n , v n , n n 0 . Alors la série de
terme général au n + bv n , n n 0 , est convergente, et on a :
+∞
n=n0
(au n + bv n ) = a
+∞
n=n0
u n + b
+∞
n=n0
v n
Une combinaison linéaire (voir chapitre 5) de séries convergentes est
donc une série convergente.
Si la série
u n diverge, alors la série
au n diverge (avec a = 0),
mais attention, la somme de deux séries divergentes peut être une série
convergente.
• Soit x ∈ ]−1, 1[. Montrons que la série
n1 nx
n est convergente, et
calculons sa somme. Sous réserve de convergence, on a :
+∞
n=1
nx
n
= x
+∞
n=1
nx
n−1
Or la série de terme général nx
n−1 , n ∈ N ∗ , est convergente, de somme
1
(1−x) 2 , car c’est une série géométrique dérivée de raison x ∈ ]−1, 1[.
Donc la série de terme général nx
n−1 , n ∈ N ∗ , est convergente, et on
a :
+∞
n=1
nx
n
=
x
(1 − x)
2
• Montrons que la série
n1 n
2 x
n est convergente et calculons sa
somme. On peut montrer qu’il s’agit d’une série convergente en utilisant les critères de convergence des séries à terme positifs :
∀n 1, n
2 x
n 0 ; n
2 x
n
= ◦
1
n 2
car lim
n→+∞
n
4 x
n
= 0 car |x| < 1 ;
n2
1
n 2 est convergente (série de Riemann) ; donc la série
n1 n
2 x
n
est convergente, mais cela ne permet pas de calculer sa somme. Pour ce
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