Partie 1 – Analyse
Séries à termes positifs
• ∀n n 0 , 0 u n v n ;
v n converge ⇒
u n converge.
∀n n 0 , 0 u n v n ;
u n diverge ⇒
v n diverge.
• ∀n n 0 , u n 0, v n 0 ; u n ∼
n→+∞
v n ⇒
u n et
v n sont de même nature
(simultanément convergentes ou divergentes).
• ∀n n 0 , u n 0, v n 0 ; u n =
n→+∞
◦ (v n ) ;
v n converge ⇒
u n converge.
Pour établir le premier critère, on montre que la suite des sommes
partielles S n =
n
n=n0 u k est croissante, car u k 0, et majorée, car
S n =
n
k=n0 u k
n
k=n0 v k
+∞
k=n0 v k ∈ R.
Ces critères tombent en défaut pour les séries qui ne sont pas à termes
positifs. Vous signalerez donc que la série est à termes positifs, même
si cela est évident.
La série de terme général
e
1
n
n 2 , n 1, est convergente, car
∀n 1,
e
1
n
n 2 0,
e
1
n
n 2 ∼
n→+∞
1
n 2 , et
n1
1
n 2 converge (série de Riemann) .
Séries à termes quelconques
La série de terme général u n est dite absolument convergente ssi la
série de terme général |u n | est convergente.
Théorème. Une série absolument convergente est convergente.
Théorème admis. On peut préciser : si la série
nn0 u n est absolument
convergente, alors elle est convergente, et
+∞
n=n0
u n
+∞
n=n0
|u n |
Attention, la réciproque de ce théorème est fausse, une série peut être
convergente sans être absolument convergente.
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