Chapitre 2 – Suites et séries numériques
En particulier, la série
n∈N ∗
1
n (série harmonique) est divergente, car
lim
n→+∞
n
k=1
1
k = +∞ comme on l’a montré au § 2.1.3.
Si a 0, la série diverge car son terme ne général ne tend pas vers 0,
voir § 2.4.3.
Si a > 0, on établit le résultat par comparaison avec une intégrale généralisée, voir § 3.4.
Les séries de Riemann servent très souvent de séries de référence dans
les critères de convergence, voir § 2.4.3.
Série exponentielle
Pour tout x ∈ R, la série de terme général
x
n
n! , n ∈ N, est convergente, de somme e
x :
∀x ∈ R,
+∞
n=0
x
n
n!
= e
x
En particulier, 1 +
1
1! +
1
2! +
1
3! + · · · = e.
On peut démontrer la formule générale en utilisant l’inégalité de TaylorLagrange, voir § 3.2.5.
On utilise ce résultat en probabilités, dans l’étude de la loi de Poisson,
voir § 8.3.2.
4.3 Critères de convergence
Un critère négatif
Si la série
n∈N u n converge, alors lim
n→+∞
u n = 0.
En effet, si
u n converge alors par définition lim
n→+∞
S n = S ∈ R, avec
S n =
n
k=0 u k ; donc u n = S n − S n−1 tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Il s’agit d’un critère négatif, il sert le plus souvent à montrer qu’une série
n’est pas convergente. On l’a utilisé plusieurs fois dans le § 4.2.
Attention, si le terme général tend vers 0, on ne peut rien dire : la série
de terme général
1
n 2 converge, la série de terme général
1
n diverge.
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