Partie 1 – Analyse
(Changement d’indice i = k − 1 dans la première somme, i = k dans la
deuxième.) En regroupant les termes en x
i quand c’est possible :
(1 − x)
n
k=1
kx
k−1
= 1 +
n−1
i=1
(i + 1 − i) x
i
− nx
n
= S n−1 (x) − nx
n
D’où la conclusion par passage à la limite, car (nx n ) tend vers 0.
Pour la série
n(n − 1) x
n−2 , on procède de même, en multipliant la
somme partielle par 1 − x.
• Vous retiendrez ces trois formules, utiles entre autres en probabilités dans l’étude de la loi géométrique, voir § 8.3.1.
Vous justifierez leur usage en invoquant la série géométrique, resp. la
série géométrique dérivée première, resp. la série géométrique dérivée seconde, de raison x ∈ ]−1, 1[.
• Pour la mémorisation, remarquez : (
d
dx dérivation par rapport à x)
d
dx
x
k
= kx
k−1 et
d
dx
1
1 − x
=
1
(1 − x)
2
d
dx
kx
k−1
= k (k − 1) x
k−2 et
d
dx
1
(1 − x)
2
=
2
(1 − x)
3
• Pour la démonstration de la deuxième formule, vous pouvez retenir ce calcul très classique et souvent demandé :
Soit f n (x) =
n
k=0
x
k
=
1 − x
n+1
1 − x
; f n est dérivable sur ]−1, 1[ , et
f n
(x) =
n
k=1
kx
k−1
=
1 − (n + 1) x
n + nx
n+1
(1 − x)
2
−→
n→+∞
1
(1 − x)
2
Remarque. On a la généralisation suivante, que l’on établit par récurrence :
∀x ∈ ]−1, 1[ , ∀n ∈ N
∗ ,
+∞
k=n
k (k − 1) . . . (k − n + 1) x
k−n
=
n!
(1 − x)
n+1
Séries de Riemann
Soit a ∈ R. La série de terme général
1
n a , n ∈ N ∗ , est convergente
ssi a > 1.
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(Changement d’indice i = k − 1 dans la première somme, i = k dans la
deuxième.) En regroupant les termes en x
i quand c’est possible :
(1 − x)
n
k=1
kx
k−1
= 1 +
n−1
i=1
(i + 1 − i) x
i
− nx
n
= S n−1 (x) − nx
n
D’où la conclusion par passage à la limite, car (nx n ) tend vers 0.
Pour la série
n(n − 1) x
n−2 , on procède de même, en multipliant la
somme partielle par 1 − x.
• Vous retiendrez ces trois formules, utiles entre autres en probabilités dans l’étude de la loi géométrique, voir § 8.3.1.
Vous justifierez leur usage en invoquant la série géométrique, resp. la
série géométrique dérivée première, resp. la série géométrique dérivée seconde, de raison x ∈ ]−1, 1[.
• Pour la mémorisation, remarquez : (
d
dx dérivation par rapport à x)
d
dx
x
k
= kx
k−1 et
d
dx
1
1 − x
=
1
(1 − x)
2
d
dx
kx
k−1
= k (k − 1) x
k−2 et
d
dx
1
(1 − x)
2
=
2
(1 − x)
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• Pour la démonstration de la deuxième formule, vous pouvez retenir ce calcul très classique et souvent demandé :
Soit f n (x) =
n
k=0
x
k
=
1 − x
n+1
1 − x
; f n est dérivable sur ]−1, 1[ , et
f n
(x) =
n
k=1
kx
k−1
=
1 − (n + 1) x
n + nx
n+1
(1 − x)
2
−→
n→+∞
1
(1 − x)
2
Remarque. On a la généralisation suivante, que l’on établit par récurrence :
∀x ∈ ]−1, 1[ , ∀n ∈ N
∗ ,
+∞
k=n
k (k − 1) . . . (k − n + 1) x
k−n
=
n!
(1 − x)
n+1
Séries de Riemann
Soit a ∈ R. La série de terme général
1
n a , n ∈ N ∗ , est convergente
ssi a > 1.
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