Chapitre 2 – Suites et séries numériques
confondre cette notation avec la notation
+∞
n=0 u n , qui est réservée aux
séries convergentes. (Par contre on a
+∞
n=0 u n =
+∞
k=0 u k , n ayant le
statut de variable muette.)
On ne change pas la nature d’une série si on en change un nombre fini
de termes, mais la valeur de la somme peut changer.
4.2 Séries usuelles
Séries géométriques et séries géométriques dérivées
géométrique
• La série de terme général x
n , n ∈ N, converge ssi |x| < 1, et
∀x ∈ ]−1, 1[ ,
+∞
k=0
x
k
=
1
1 − x
• La série de terme général nx
n−1 , n ∈ N ∗ , converge ssi |x| < 1, et
∀x ∈ ]−1, 1[ ,
+∞
k=1
kx
k−1
=
1
(1 − x)
2
• La série de terme général n (n − 1) x
n−2 , n ∈ N ∗ , n 2, converge
ssi |x| < 1, et
∀x ∈ ]−1, 1[ ,
+∞
k=2
k (k − 1) x
k−2
=
2
(1 − x)
3
Démonstration. Si |x| 1, le terme général des séries concernées ne
tend pas vers 0, elles sont donc divergentes (voir § 2.4.3). On suppose
donc dans la suite |x| < 1.
Pour la série
x
n : soit S n (x) =
n
k=0 x
k . D’après l’identité géométrique, on a :
S n (x) =
1 − x
n+1
1 − x
−→
n→+∞
1
1 − x
car |x| < 1, donc
x
n+1
tend vers 0. Et le résultat est établi.
Pour la série
nx
n−1 :
(1 − x)
n
k=1
kx
k−1
=
n
k=1
kx
k−1
−
n
k=1
kx
k
=
n−1
i=0
(i + 1) x
i
−
n
i=1
ix
i
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