Chapitre 2 – Suites et séries numériques
En effet : |u 0 − | k
0
|u 0 − | car k
0
= 1,
et si |u n − | k
n
|u 0 − | pour quelque n ∈ N, alors
|u n+1 − | k |u n − | kk
n
|u 0 − | = k
n+1
|u 0 − |
D’où la conclusion.
• 0 < k < 1, donc lim
n→+∞
k
n
= 0, donc par passage à la limite :
lim
n→+∞
u n =
Vous répondrez bien sûr aux questions de l’énoncé, mais la démarche
est à retenir, les questions pouvant être plus ou moins détaillées.
Exemple utilisant la première version de la formule des accroissements
finis : il s’agit de l’algorithme de Héron l’Ancien, pour la recherche de
valeurs approchées de
√
x, avec ici x = 3.
u 0 = a > 0 ; ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ) , avec f (x) =
1
2
x +
3
x
– L’étude de f montre que le minimum de f sur ]0, +∞[ est atteint en
√
3, et égal à
√
3 (
√
3 est donc un point fixe de f ).
– On montre par récurrence : ∀n ∈ N ∗ , u n
√
3 .
– Pour tout x ∈
√
3, +∞
:
0 f
(x) =
1
2
1 −
3
x 2
1
2
–
√
3 u n et 0 f
1
2 sur
√
3, u n
, la formule des accroissements
finis donne alors :
∀n ∈ N
∗ , 0 f (u n ) − f
√
3
1
2
u n −
√
3
, donc
∀n ∈ N
∗ , 0 u n+1 −
√
3
1
2
u n −
√
3
– On obtient par récurrence :
∀n ∈ N
∗ , 0 u n −
√
3
1
2
n−1
u 1 −
√
3
– Et comme lim
n→+∞
1
2
n−1 = 0 :
lim
n→+∞
u n =
√
3
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