Partie 1 – Analyse
Le théorème de la bijection monotone montre alors que l’équation
g (x) = 0 admet deux solutions. Une d’elles est égale à 0, l’autre, r,
est supérieure à ln 2. On a g (1) > 0, g (2) < 0, et g est strictement
décroissante sur [ln, +∞[, donc 1 < r < 2.
– Soit (u n ) définie par
u 0 = 1 ; ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ) avec f (x) = 2
1 − e
−x
f est continue sur R, donc si (u n ) converge, alors sa limite vérifie
l’équation f (x) = x ; or cette équation est équivalente à g (x) = 0, donc
= 0 ou = r.
f est croissante sur R, donc (u n ) est monotone.
u 1 u 0 , donc (u n ) est croissante.
Par récurrence : ∀n ∈ N, u n r.
(u n ) est croissante est majorée, elle est donc convergente, et sa limite
est égale à r, puisque avec u 0 = 1 et (u n ) croissante, elle ne peut être
égale à 0. u n (dont on peut programmer le calcul) constitue une valeur
approchée de r qu’on ne connaît pas.
3.3 Utilisation de la formule des accroissements finis
On rappelle la formule des accroissements, sous ses deux versions (voir
§ 1.3.2) :
Première version : Si m f M sur [a, b], alors
m (b − a) f (b) − f (a) M (b − a)
Deuxième version : Si |f | k sur l’intervalle I, alors,
∀x 1 , x 2 ∈ I, | f (x 1 ) − f (x 2 )| k|x 1 − x 2 |
Pour montrer que la suite (u n ) converge vers en utilisant la formule
des accroissements finis, la démarche en général suivie par l’énoncé est
la suivante :
• On établit
– Pour tout n ∈ N, u n appartient à l’intervalle I.
– Il existe appartenant à I tel que f () = .
– | f | k < 1 sur I.
• La formule des accroissements finis fournit alors :
∀n ∈ N, | f (u n ) − f ()| k|u n − |, c’est-à-dire
∀n ∈ N, |u n+1 − | k|u n − |
• On montre alors par récurrence :
∀n ∈ N, |u n − | k
n
|u 0 − |
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Le théorème de la bijection monotone montre alors que l’équation
g (x) = 0 admet deux solutions. Une d’elles est égale à 0, l’autre, r,
est supérieure à ln 2. On a g (1) > 0, g (2) < 0, et g est strictement
décroissante sur [ln, +∞[, donc 1 < r < 2.
– Soit (u n ) définie par
u 0 = 1 ; ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ) avec f (x) = 2
1 − e
−x
f est continue sur R, donc si (u n ) converge, alors sa limite vérifie
l’équation f (x) = x ; or cette équation est équivalente à g (x) = 0, donc
= 0 ou = r.
f est croissante sur R, donc (u n ) est monotone.
u 1 u 0 , donc (u n ) est croissante.
Par récurrence : ∀n ∈ N, u n r.
(u n ) est croissante est majorée, elle est donc convergente, et sa limite
est égale à r, puisque avec u 0 = 1 et (u n ) croissante, elle ne peut être
égale à 0. u n (dont on peut programmer le calcul) constitue une valeur
approchée de r qu’on ne connaît pas.
3.3 Utilisation de la formule des accroissements finis
On rappelle la formule des accroissements, sous ses deux versions (voir
§ 1.3.2) :
Première version : Si m f M sur [a, b], alors
m (b − a) f (b) − f (a) M (b − a)
Deuxième version : Si |f | k sur l’intervalle I, alors,
∀x 1 , x 2 ∈ I, | f (x 1 ) − f (x 2 )| k|x 1 − x 2 |
Pour montrer que la suite (u n ) converge vers en utilisant la formule
des accroissements finis, la démarche en général suivie par l’énoncé est
la suivante :
• On établit
– Pour tout n ∈ N, u n appartient à l’intervalle I.
– Il existe appartenant à I tel que f () = .
– | f | k < 1 sur I.
• La formule des accroissements finis fournit alors :
∀n ∈ N, | f (u n ) − f ()| k|u n − |, c’est-à-dire
∀n ∈ N, |u n+1 − | k|u n − |
• On montre alors par récurrence :
∀n ∈ N, |u n − | k
n
|u 0 − |
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