Chapitre 2 – Suites et séries numériques
que, si tous les u n appartiennent à I, alors (u n ) est décroissante (avec
f (x) − x 0), ou croissante (avec f (x) − x 0).
• u 0 = a > 0 ; ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ), avec f (x) = ln (1 + x).
– L’étude de la fonction x → f (x) − x montre :
∀x > −1, f (x) x, et f (x) = x ⇔ x = 0
– On montre par récurrence :
∀n ∈ N, u n existe et u n 0.
– ∀x 0, f (x) x ; ∀n ∈ N, u n 0, donc :
∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ) u n ,
donc (u n ) est décroissante.
– La suite (u n ) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente. Sa limite vérifie 0, et est un point fixe de f , car f est continue sur l’intervalle [0, +∞[ (attention à considérer l’intervalle fermé).
Or f (x) = x ⇔ x = 0, donc = 0.
• u 0 = a 0 ; ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ), avec f (x) = x ln (1 + x).
– On établit par récurrence : ∀n ∈ N, u n 0.
– f est continue sur [0, +∞[, et les points fixes de f sont 0 et e − 1.
Donc, si (u n ) converge, alors sa limite est 0 ou e − 1.
– f est croissante sur [0, +∞[ et ∀n ∈ N, u n 0, donc (u n ) est monotone.
– Si u 0 > e − 1, alors ln (1 + u 0 ) > ln (1 + e − 1) = 1, par conséquent
u 1 = u 0 ln (1 + u 0 ) > u 0 . La suite (u n ) est donc croissante.
On a donc, pour tout n ∈ N, u n u 0 > e − 1 : (u n ) ne peut pas
converger ni vers e − 1, ni vers 0, elle est donc divergente, et puisqu’elle
est croissante : lim
n→+∞
u n = +∞.
– Si u 0 = e − 1, alors, par récurrence : ∀n ∈ N, u n = e − 1.
– Si 0 < u 0 < e − 1, alors u 1 = u 0 ln (1 + u 0 ) < u 0 . La suite (u n ) est donc
décroissante, et minorée par 0, donc convergente. (u n ) ne peut converger
vers e − 1, puisque pour tout n, u n u 0 < e − 1. (u n ) converge donc
vers 0.
– Si u 0 = 0, alors, par récurrence : ∀n ∈ N, u n = 0.
• (Utilisation pour obtenir une valeur approchée d’une solution à une
équation)
– L’étude de la fonction g définie par g (x) = 2 − x − 2e −x fournit :
x
−∞
ln 2
+∞
f (x)
−∞
∞
1 − ln2
−∞
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que, si tous les u n appartiennent à I, alors (u n ) est décroissante (avec
f (x) − x 0), ou croissante (avec f (x) − x 0).
• u 0 = a > 0 ; ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ), avec f (x) = ln (1 + x).
– L’étude de la fonction x → f (x) − x montre :
∀x > −1, f (x) x, et f (x) = x ⇔ x = 0
– On montre par récurrence :
∀n ∈ N, u n existe et u n 0.
– ∀x 0, f (x) x ; ∀n ∈ N, u n 0, donc :
∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ) u n ,
donc (u n ) est décroissante.
– La suite (u n ) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente. Sa limite vérifie 0, et est un point fixe de f , car f est continue sur l’intervalle [0, +∞[ (attention à considérer l’intervalle fermé).
Or f (x) = x ⇔ x = 0, donc = 0.
• u 0 = a 0 ; ∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ), avec f (x) = x ln (1 + x).
– On établit par récurrence : ∀n ∈ N, u n 0.
– f est continue sur [0, +∞[, et les points fixes de f sont 0 et e − 1.
Donc, si (u n ) converge, alors sa limite est 0 ou e − 1.
– f est croissante sur [0, +∞[ et ∀n ∈ N, u n 0, donc (u n ) est monotone.
– Si u 0 > e − 1, alors ln (1 + u 0 ) > ln (1 + e − 1) = 1, par conséquent
u 1 = u 0 ln (1 + u 0 ) > u 0 . La suite (u n ) est donc croissante.
On a donc, pour tout n ∈ N, u n u 0 > e − 1 : (u n ) ne peut pas
converger ni vers e − 1, ni vers 0, elle est donc divergente, et puisqu’elle
est croissante : lim
n→+∞
u n = +∞.
– Si u 0 = e − 1, alors, par récurrence : ∀n ∈ N, u n = e − 1.
– Si 0 < u 0 < e − 1, alors u 1 = u 0 ln (1 + u 0 ) < u 0 . La suite (u n ) est donc
décroissante, et minorée par 0, donc convergente. (u n ) ne peut converger
vers e − 1, puisque pour tout n, u n u 0 < e − 1. (u n ) converge donc
vers 0.
– Si u 0 = 0, alors, par récurrence : ∀n ∈ N, u n = 0.
• (Utilisation pour obtenir une valeur approchée d’une solution à une
équation)
– L’étude de la fonction g définie par g (x) = 2 − x − 2e −x fournit :
x
−∞
ln 2
+∞
f (x)
−∞
∞
1 − ln2
−∞
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