Partie 1 – Analyse
Remarque. Si f est décroissante sur I, avec u n ∈ I pour tout n, la suite
(u n ) n’est ni croissante ni décroissante, mais les suites (u 2n ) et(u 2n+1 ) sont
monotones, car f ◦ f est croissante, et
u 2(n+1) = f ◦ f (u 2n ) , u 2(n+1)+1 = f ◦ f (u 2n+1 )
Si f n’est ni croissante ni décroissante, le comportement de (u n ) peut
s’avérer très complexe. On peut en faire une approche numérique.
Notion de point fixe
Définition. On dit que a ∈ R est un point fixe de f ssi f (a) = a.
Théorème. Si (u n ) converge vers et f est continue en , alors est
un point fixe de f , c’est-à-dire que = f ().
On obtient ce résultat par passage à la limite dans u n+1 = f (u n ).
En effet, si lim
n→+∞
u n = , alors lim
n→+∞
u n+1 = , et lim
n→+∞
f (u n ) = f () car
f est continue en
Remarque. Ce théorème donne une condition nécessaire, mais non
suffisante, pour que (u n ) converge vers . Le problème est que est
inconnue, donc on ne sait pas a priori si f est continue en ! On a
néanmoins dans cette direction :
• On suppose que f continue sur R. Alors, si (u n ) converge vers , est
un point fixe de f .
• On suppose que f continue sur l’intervalle I = [a, b], et que tous les
termes de la suite (u n ) appartiennent à I. Alors, si (u n ) converge vers ,
est un point fixe de f .
En effet, a u n b pour tout n, donc si (u n ) converge vers , alors
a b (passage à la limite dans les inégalités). appartient donc à I,
f est continue en , et est un point fixe de f . On peut faire le même
raisonnement avec tout intervalle I fermé.
3.2 Exemples
Une grande variété de situations est possible. Vous répondrez aux
questions posées, en cherchant à comprendre leur enchaînement
logique. Donnons quelques indications générales :
On montre que la suite (u n ) est majorée, ou minorée, ou bornée, en
général par récurrence, en utilisant les points fixes de f .
L’énoncé propose souvent l’étude du signe de f (x) − x, qui fournit
les points fixes de f (avec f (x) − x = 0), ou les intervalles I tels
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Remarque. Si f est décroissante sur I, avec u n ∈ I pour tout n, la suite
(u n ) n’est ni croissante ni décroissante, mais les suites (u 2n ) et(u 2n+1 ) sont
monotones, car f ◦ f est croissante, et
u 2(n+1) = f ◦ f (u 2n ) , u 2(n+1)+1 = f ◦ f (u 2n+1 )
Si f n’est ni croissante ni décroissante, le comportement de (u n ) peut
s’avérer très complexe. On peut en faire une approche numérique.
Notion de point fixe
Définition. On dit que a ∈ R est un point fixe de f ssi f (a) = a.
Théorème. Si (u n ) converge vers et f est continue en , alors est
un point fixe de f , c’est-à-dire que = f ().
On obtient ce résultat par passage à la limite dans u n+1 = f (u n ).
En effet, si lim
n→+∞
u n = , alors lim
n→+∞
u n+1 = , et lim
n→+∞
f (u n ) = f () car
f est continue en
Remarque. Ce théorème donne une condition nécessaire, mais non
suffisante, pour que (u n ) converge vers . Le problème est que est
inconnue, donc on ne sait pas a priori si f est continue en ! On a
néanmoins dans cette direction :
• On suppose que f continue sur R. Alors, si (u n ) converge vers , est
un point fixe de f .
• On suppose que f continue sur l’intervalle I = [a, b], et que tous les
termes de la suite (u n ) appartiennent à I. Alors, si (u n ) converge vers ,
est un point fixe de f .
En effet, a u n b pour tout n, donc si (u n ) converge vers , alors
a b (passage à la limite dans les inégalités). appartient donc à I,
f est continue en , et est un point fixe de f . On peut faire le même
raisonnement avec tout intervalle I fermé.
3.2 Exemples
Une grande variété de situations est possible. Vous répondrez aux
questions posées, en cherchant à comprendre leur enchaînement
logique. Donnons quelques indications générales :
On montre que la suite (u n ) est majorée, ou minorée, ou bornée, en
général par récurrence, en utilisant les points fixes de f .
L’énoncé propose souvent l’étude du signe de f (x) − x, qui fournit
les points fixes de f (avec f (x) − x = 0), ou les intervalles I tels
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