Chapitre 2 – Suites et séries numériques
3. Suites u n+1 = f (u n )
3.1 Généralités
Définition. Dans tout le paragraphe, (u n ) désigne une suite telle que :
∀n ∈ N, u n+1 = f (u n )
où f est une fonction de R dans R.
Attention, les résultats donnés ne sont valables que pour les suites de
ce type ! On adaptera sans peine ces résultats au cas où la suite est
définie sur N ∗ .
En général, l’énoncé admet implicitement que la suite (u n ) est bien
définie (c’est évident si f est définie sur R). Si la question est posée,
on répondra au moyen d’un raisonnement par récurrence.
Soit (u n ) définie par :
u 0 = 1 ; ∀n ∈ N, u n+1 = u n +
1
u n
On montre par récurrence : ∀n ∈ N, u n existe et u n > 0 ; u 0 = 1 existe
et u 0 > 0, et si u n existe et u n > 0, alors u n+1 = u n +
1
un existe et
u n+1 > 0. Ce qui montre que la suite (u n ) est bien définie.
Sens de variation
Théorème. Soit I un intervalle de R.
Si ∀n ∈ N, u n ∈ I, et f est croissante sur I, alors (u n ) n∈N est monotone.
On démontre ce théorème par récurrence, en distinguant les cas u 0 u 1 ,
u 0 u 1 . Si u 0 u 1 , on démontre : ∀n ∈ N, u n u n+1 . La propriété est
vraie pour n = 0 par hypothèse, et si elle vraie pour n fixé dans N, alors
u n u n+1 , donc f (u n ) f (u n+1 ) car f est croissante, donc u n+1 u n+2 ,
et la propriété est vraie pour n + 1. On en conclut qu’elle est vaie pour
tout n, ce qui montre que la suite (u n ) est croissante. On procède de
même si u 0 u 1 .
Ce théorème est à connaître, mais il existe d’autres moyens pour prouver
la monotonie de (u n ). Par exemple, si on sait que :
∀x ∈ I, f (x) x ; ∀n ∈ N, u n ∈ I
on obtient, sans utiliser le théorème, que (u n ) est croissante, puisqu’on a
alors :
∀n ∈ N, u n+1 = f (u n ) u n
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