Partie 1 – Analyse
Si la suite arithmético-géométrique est définie sur N ∗ , le théorème
s’adapte facilement, et on trouve u n − = a
n−1 (u 1 − ).
2.4 Suites linéaires récurrentes à deux termes
Théorème. Soit a, b ∈ R, (u n ) n∈N telles que
∀n ∈ N, u n+2 = au n+1 + bu n
On considère l’équation caractéristique (1) r
2
= ar + b.
• Si l’équation (1) a deux racines r 1 , r 2 , alors il existe a, b ∈ N tels
que :
∀n ∈ N, u n = ar
n
1 + br 2
n
• Si l’équation (1) a une racine double r 1 , alors il existe a, b ∈ N
tels que :
∀n ∈ N, u n = ar 1
n + bnr 1
n
Pour déterminer a et b, on a besoin d’informations supplémentaires sur
la suite (u n ), par exemple la donnée de u 0 et u 1 .
La démonstration de ce théorème est un bon exemple de l’utilisation des
outils de l’algèbre linéaire, voir § 5.5.1.
Programmation du cas particulier de la suite de Fibonacci :
u 0 = 1 ; u 1 = 1 ; ∀n ∈ N, u n+2 = u n+1 + u n
On doit écrire un algorithme itératif. Les appels multiples dans un
algorithme récursif donnent des résultats non souhaités.
Voir § 10.1.8.
Le programme suivant affiche les valeurs de u 2 , . . . , u 100 :
ÔÖÓÓÖÖÑ ÓÒÒÒÒÒ
ÚÚÖ ÒØØØØÖ ¸¸¸¸¸ÖÖÖÐ
ÁÆ
½ ½
ÓÖ ¾ ØÓ ½¼¼ Ó Ò
··
ÛÖÖØØÐÒ´´¸¸µ {écriture de u i avec son rang i}
{on prépare l’éventuelle itération suivante}
ÒÒ
Æƺ
70