Chapitre 2 – Suites et séries numériques
•
n
k=0
e
−k
=
n
k=0
1
e
k
=
1 −
1
e
n+1
1 −
1
e
=
e
e − 1
1 −
1
e
n+1
•
n
k=0
x
2k
=
n
k=0
x
2
k =
1 −
x
2
n+1
1 − x 2 =
1 − x
2n+2
1 − x 2
•
n
k=1
x
2k+1
= x
n
k=1
x
2
k = xx
2 1 −
x
2
n
1 − x 2 = x
3 1 − x
2n
1 − x 2
Veillez à ne pas confondre par exemple les sommes
n
k=1 4
k (susceptible d’être calculée avec l’identité géométrique), et
n
k=1 k
4 (qui ne
se calcule pas de manière simple).
On mémorise les résultats du théorème 3 en prenant des cas particuliers :
x = 2, x =
1
2
, x = −
1
2
, x = −2.
Dans le théorème 3, vous retiendrez particulièrement les deux premiers résultats. Ils se démontrent en utilisant les logarithmes ; par
exemple :
Si 0 < |x| < 1, |x
n
| = |x|
n
= e
nln|x|
−→
x→+∞
0 car ln|x| < 0.
2.3 Suites arithmético-géométriques
Théorème. Soit a = 1, b ∈ R, (u n ) n∈N telles que
∀n ∈ N, u n+1 = au n + b.
Alors, pour tout n ∈ N :
u n − = a
n (u 0 − ) ,
avec tel que
= a + b.
En effet, existe car on a supposé a = 1. En soustrayant membre
à membre les deux égalités u n+1 = au n + b, = a + b, il vient
u n+1 − = a (u n − ), ce qui prouve que la suite (u n − ) est géométrique
de raison a, d’où le résultat, en utilisant le théorème 1 du paragraphe
précédent.
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