Partie 1 – Analyse
Pour le sens de variations et les limites, on a :
Théorème 3.
• Si x > 1, lim
n→+∞
x
n
= +∞.
Si −1 < x < 1, lim
n→+∞
x
n
= 0.
Si x −1, la suite (x n ) n’a pas de limite.
• Si x > 1, la suite (x n ) est strictement croissante.
Si 0 < x < 1, la suite (x n ) est strictement décroissante.
Si x < 0, la suite (x n ) n’est ni croissante ni décroissante.
Le théorème 1 est tout à fait fondamental et d’usage constant, voir
les paragraphes suivants par exemple. De façon typique, sa démonstration se fait par récurrence : la propriété à établir est vraie pour
n = 0, car u 0 r
0
= u 0 , et si il existe n ∈ N tel que u n = u 0 r
n , alors
u n+1 = ru n = ru 0 r
n
= u 0 r
n+1 , d’où la conclusion.
On parle également de suite géométrique définie sur N ∗ :
∀n ∈ N ∗ , u n+1 = ru n . On a alors : ∀n ∈ N ∗ , u n = u 1 r
n−1 .
De façon générale, pour tout n, p tels que u n et u p soient définis :
u n = u p r
n−p
La formule du théorème 2 est connue sous le nom d’identité géométrique. Elle est valable pour tout x = 1. Avec x = 1, on obtient
bien sûr une somme égale à n + 1, car les n + 1 termes de la somme
sont tous égaux à 1.
En mettant en facteur le premier terme, vous pouvez calculer grâce
au théorème 2 la somme de termes successifs d’une suite géométrique, et vous pouvez retenir la formule (valable si la raison est = 1) :
Somme de termes
successifs d’une
suite géométrique
= premier terme ×
1 − raison
nb de termes
1 − raison
Voici quelques usages typiques de l’identité géométrique. n est un entier
naturel, non nul dans la première et la dernière formule, x un nombre
réel différent de 1 et −1 :
•
n
k=1
2
k
= 2
n
− 1 ;
n
k=0
1
2
k
= 2
1 −
1
2
n+1
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Pour le sens de variations et les limites, on a :
Théorème 3.
• Si x > 1, lim
n→+∞
x
n
= +∞.
Si −1 < x < 1, lim
n→+∞
x
n
= 0.
Si x −1, la suite (x n ) n’a pas de limite.
• Si x > 1, la suite (x n ) est strictement croissante.
Si 0 < x < 1, la suite (x n ) est strictement décroissante.
Si x < 0, la suite (x n ) n’est ni croissante ni décroissante.
Le théorème 1 est tout à fait fondamental et d’usage constant, voir
les paragraphes suivants par exemple. De façon typique, sa démonstration se fait par récurrence : la propriété à établir est vraie pour
n = 0, car u 0 r
0
= u 0 , et si il existe n ∈ N tel que u n = u 0 r
n , alors
u n+1 = ru n = ru 0 r
n
= u 0 r
n+1 , d’où la conclusion.
On parle également de suite géométrique définie sur N ∗ :
∀n ∈ N ∗ , u n+1 = ru n . On a alors : ∀n ∈ N ∗ , u n = u 1 r
n−1 .
De façon générale, pour tout n, p tels que u n et u p soient définis :
u n = u p r
n−p
La formule du théorème 2 est connue sous le nom d’identité géométrique. Elle est valable pour tout x = 1. Avec x = 1, on obtient
bien sûr une somme égale à n + 1, car les n + 1 termes de la somme
sont tous égaux à 1.
En mettant en facteur le premier terme, vous pouvez calculer grâce
au théorème 2 la somme de termes successifs d’une suite géométrique, et vous pouvez retenir la formule (valable si la raison est = 1) :
Somme de termes
successifs d’une
suite géométrique
= premier terme ×
1 − raison
nb de termes
1 − raison
Voici quelques usages typiques de l’identité géométrique. n est un entier
naturel, non nul dans la première et la dernière formule, x un nombre
réel différent de 1 et −1 :
•
n
k=1
2
k
= 2
n
− 1 ;
n
k=0
1
2
k
= 2
1 −
1
2
n+1
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