Chapitre 2 – Suites et séries numériques
En effet,
S n = u 1 + u 2 + · · · + u n
= u n + u n−1 + · · · + u 1 ,
et donc 2S n = (u 1 + u n ) + (u 1 + r + u n − r) + · · · + (u n + u 1 )
= n (u 1 + u n )
Avec u k = k, on obtient le cas particulier important, à retenir :
n
k=1
k =
n (n + 1)
2
De façon générale, la somme de termes successifs d’une suite arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne
arithmétique des termes extrêmes.
Le sens de variations et la limite d’une suite arithmétique de raison r ne
pose aucun problème : Si r > 0, la suite est strictement croissante, tend
vers +∞ ; Si r < 0, la suite est strictement décroissante, tend vers −∞.
La suite est constante si r = 0 ;
2.2 Suites géométriques
Définition. Soit r un nombre réel non nul. La suite (u n ) n∈N est dite
géométrique de raison r ssi :
∀n ∈ N, u n+1 = ru n
Théorème 1. La suite (u n ) n∈N est géométrique de raison r ssi
∀n ∈ N, u n = u 0 r
n
Dans le cas particulier où u n = x
n , avec x = 1, on a le très important
Théorème 2. Pour tout n ∈ N, et pour tout x = 1 :
n
k=0
x
k
= 1 + x + · · · + x
n
=
1 − x
n+1
1 − x
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