Partie 1 – Analyse
• Équivalents. En adaptant la définition générale, on dit que (u n ) et
(v n ) sont équivalentes ssi lim
n→+∞
un
vn = 1. On a les mêmes propriétés, et la
même utilisation pour la recherche de limite.
Quand u n tend vers 0, +∞ ou −∞, l’obtention d’un équivalent pour
u n permet d’apprécier qualitativement le comportement de u n :
On a obtenu dans l’exemple donné pour les suites adjacentes :
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
= ln (n) + g + ´ n
avec g une constante et (´ n ) qui converge vers 0. En divisant cette
égalité par ln (n), on obtient
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
∼
n→+∞
ln (n)
• Négligeabilité. En adaptant ici aussi la définition générale, on dit que
u n est négligeable devant v n , et on note u n = o (v n ), ssi
lim
n→+∞
u n
v n
= 0
2. Suites numériques calculables
2.1 Suites arithmétiques
Définition. Soit r ∈ R. La suite (u n ) n∈N est dite arithmétique de
raison r ssi
∀n ∈ N, u n+1 = u n + r.
On démontre alors par récurrence la
Proposition 1. La suite (u n ) n∈N est arithmétique de raison r ssi
∀n ∈ N, u n = u 0 + nr
On parle également de suite arithmétique définie sur N ∗ :
∀n ∈ N ∗ , u n+1 = u n + r. On a alors : ∀n ∈ N ∗ , u n = u 1 + (n − 1) r.
De façon générale, pour tout n, p tels que u n et u p soient définis :
u n = u p + (n − p) r
Proposition 2. Pour une suite arithmétique (u n ), on a
n
k=1
u k = n ×
u 1 + u n
2
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