Partie 1 – Analyse
Soient (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes, de limite commune , la suite
(u n ) étant croissante et la suite (v n ) décroissante. On a alors
u 0 · · · u n v n · · · v 0
u n est donc une valeur approchée par défaut, et v n une valeur approchée
par excès, de à moins de v n − u n près.
Soit (u n ) et (v n ) les suites définies par (n ∈ N ∗ ) :
u n = 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
− ln (n) ; v n = 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
− ln (n + 1)
Les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. En effet, la suite (u n ) est décroissante, car pour tout n 1,
u n+1 − u n =
1
n + 1
− ln (n + 1) + ln (n) 0
d’après la formule des accroissements finis, appliquée à la fonction ln
sur l’intervalle [n, n + 1]. On démontre de même que la suite (v n ) est
croissante. La différence (u n − v n ) converge vers 0, en effet
u n − v n = ln (n + 1) − ln (n) = ln
n + 1
n
= ln
1 +
1
n
La limite commune aux suites (u n ) et (v n ) est notée g (constante d’Euler). Pour tout n, on a u n g v n ; u n est donc une valeur approchée
par défaut de g à moins de v n − u n = ln
n
n+1
près.
D’autre part, en posant ´ n = u n − g, on obtient :
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
= ln (n) + g + ´ n
avec (´ n ) qui converge vers 0. Cela montre en particulier que la suite
de terme général 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
tend vers +∞ (résultat à retenir, voir
§ 2.4.3).
1.3 Opérations sur les limites
Une suite est cas particulier de fonction numérique : l’ensemble de définition de la suite est N, ou une partie de N. On peut donc utiliser toutes
les connaissances et techniques du chapitre 1, grâce à la proposition suivante :
Soit f une application définie sur [0, +∞[.
Si lim
x→+∞
f (x) = , alors lim
n→+∞
f (n) =
64
Soient (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes, de limite commune , la suite
(u n ) étant croissante et la suite (v n ) décroissante. On a alors
u 0 · · · u n v n · · · v 0
u n est donc une valeur approchée par défaut, et v n une valeur approchée
par excès, de à moins de v n − u n près.
Soit (u n ) et (v n ) les suites définies par (n ∈ N ∗ ) :
u n = 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
− ln (n) ; v n = 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
− ln (n + 1)
Les suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes. En effet, la suite (u n ) est décroissante, car pour tout n 1,
u n+1 − u n =
1
n + 1
− ln (n + 1) + ln (n) 0
d’après la formule des accroissements finis, appliquée à la fonction ln
sur l’intervalle [n, n + 1]. On démontre de même que la suite (v n ) est
croissante. La différence (u n − v n ) converge vers 0, en effet
u n − v n = ln (n + 1) − ln (n) = ln
n + 1
n
= ln
1 +
1
n
La limite commune aux suites (u n ) et (v n ) est notée g (constante d’Euler). Pour tout n, on a u n g v n ; u n est donc une valeur approchée
par défaut de g à moins de v n − u n = ln
n
n+1
près.
D’autre part, en posant ´ n = u n − g, on obtient :
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
= ln (n) + g + ´ n
avec (´ n ) qui converge vers 0. Cela montre en particulier que la suite
de terme général 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
tend vers +∞ (résultat à retenir, voir
§ 2.4.3).
1.3 Opérations sur les limites
Une suite est cas particulier de fonction numérique : l’ensemble de définition de la suite est N, ou une partie de N. On peut donc utiliser toutes
les connaissances et techniques du chapitre 1, grâce à la proposition suivante :
Soit f une application définie sur [0, +∞[.
Si lim
x→+∞
f (x) = , alors lim
n→+∞
f (n) =
64