Chapitre 2 – Suites et séries numériques
de la suite ne doit pas dépendre de n.) On a donc
∀n ∈ N, u n e
1
1−x
La suite (u n ) est donc croissante et majorée par M = e
1
1−x . Elle est
donc convergente, et sa limite vérifie M.
• Ce théorème s’applique si la suite est monotone à partir d’un certain
rang.
• Ce théorème donne une condition suffisante, mais non nécessaire,
pour qu’une suite soit convergente. En d’autres termes, il existe des suites
convergentes qui ne sont ni croissantes ni décroissantes, par exemple la
suite (u n ) n∈N ∗ définie par ∀n ∈ N ∗ , u n =
(−1) n
n , qui converge vers 0.
• Pour montrer qu’une suite est (par exemple) croissante, les techniques courantes sont :
– Appliquer la définition.
– Montrer que u n+1 − u n 0 ; à utiliser si u n se présente sous forme
de somme, voir § 2.4.3 « séries ».
– Si les termes de la suite (u n ) sont positifs, montrer que
un+1
un 1 ;
à utiliser si u n se présente sous forme de produit, comme dans
l’exemple précédent : avec x > 0, on a
∀n ∈ N, u n =
n
k=0
1 + x
k
> 0 ;
u n+1
u n
= 1 + x
n+1
> 1
donc la suite (u n ) est (strictement) croissante.
– Pour une suite du type u n+1 = f (u n ) (§ 2.2.3) ou pour une suite
définie implicitement (§ 2.2.5), voir les techniques spécifiques
dans les paragraphes suivants.
• Pour montrer qu’une suite est majorée (par exemple), on fera
grand usage des manipulations des inégalités, voir le § 8 de l’introduction.
Suites adjacentes
Définition. Les deux suites (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont dites adjacentes ssi
une des suites est croissante, l’autre décroissante, et
lim
n→+∞
(u n − v n ) = 0
Théorème. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont même limite.
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