Partie 1 – Analyse
(u n ) converge vers ssi, pour tout ´ > 0, il n’y a qu’un nombre fini
de termes de la suite en dehors de l’intervalle ] − ´, + ´[.
Si (u n ) converge vers et si a < < < b, alors, pour tous les termes de
la suite à partir d’un certain rang : a < u n < b.
1.2 Théorèmes de convergence
Suites monotones
Théorème 1
Une suite croissante et majorée est convergente.
Une suite décroissante et minorée est convergente.
Théorème admis.
En utilisant le passage à la limite dans les inégalités (voir § 1.1.2 ou cidessous, § 2.1.3), on peut préciser :
Si une suite est croissante et majorée par M, alors elle est convergente, et
sa limite vérifie M. Si une suite croissante n’est pas convergente,
alors lim
n→+∞
u n = +∞.
Si une suite est décroissante et minorée par m, alors elle est convergente,
et sa limite vérifie m. Si une suite décroissante n’est pas convergente, alors lim
n→+∞
u n = −∞.
Soit x un nombre réel fixé dans ]0, 1[, et soit (u n ) la suite définie par
∀n ∈ N, u n =
n
k=0
1 + x
k
La suite (u n ) est croissante car, pour tout n ∈ N, u n 0 et 1+x
n+1
1,
donc u n+1 = u n
1 + x
n+1
u n
La suite (u n ) est majorée. Pour tout n ∈ N, u n > 0, et on a
ln (u n ) =
n
k=0
ln
1 + x
k
n
k=0
x
k
=
1 − x
n+1
1 − x
1
1 − x
(Règles de calcul sur les logarithmes, puis utilisation de l’inégalité
ln (1 + y) y, valable pour tout y > −1 et que l’on établit en étudiant
la fonction y → ln (1 + y) − y, puis identité géométrique ; la dernière
majoration, évidente car 0 < x < 1, est indispensable car le majorant
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