Partie 1 – Analyse
Si p = q = 0 ; rt − s
2
< 0, alors f (M 0 ) n’est pas un extremum local
de f .
Dans le cas où p = q = 0 ; rt − s
2
= 0, on ne peut rien conclure.
Ces résultats s’établissent à partir du développement limité d’ordre 1 de
f en (x 0 , y 0 ), valable pour f ∈ C
1 (U), (x 0 , y 0 ) ∈ U :
f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0 , y 0 ) + ph + qk +
√
h 2 + k 2 ´ (h, k) ,
et à partir du développement limité d’ordre 2 de f en (x 0 , y 0 ), valable
pour ∈ C
2 (U), (x 0 , y 0 ) ∈ U :
f (x 0 + h, y 0 + k) = f (x 0 , y 0 ) + ph + qk +
1
2
rh
2 + 2shk + tk
2
+
h
2 + k
2
´ (h, k) ,
avec p, q, r, s, t pris au point (x 0 , y 0 ), et avec ´ continue et nulle au point
(0, 0).
60