Chapitre 1 – Étude de fonctions
Opérations. Soit D une partie non vide, ouverte ou fermée, de R
2 ,
et i ∈ {0, 1, 2}.
a) Les fonctions (x, y) → x et (x, y) → y sont de classe C
i sur R
2 .
b) Soit u, v appartenant à C
i (D), a ∈ R. Alors u + v, au et uv appartiennent à C
i (D).
u
v appartient à C
i (D) si de plus v ne s’annule pas
sur D.
c) Soit u de classe C
i et f de classe C
i sur u (D). Alors la composée
w ◦ u est de classe C
i sur D.
Théorème de Schwarz.
Si f ∈ C
2 (D) , alors
∂
2 f
∂y∂x
(x, y) =
∂
2 f
∂x∂y
(x, y)
Notations de Monge. Pour f ∈ C
2 (D), on note, de façon abrégée :
p = f
x ; q = f
y ; r = f
x 2 ; s = f
yx = f
xy ; t = f
y 2
5.3 Résultats d’optimisation
• Une condition suffisante d’extremum global :
Soit f une fonction continue sur une partie fermée bornée de R
2 .
Alors f admet un minimum et un maximum globaux sur D.
• Une condition nécessaire d’extremum :
Soit f de classe C
1 sur l’ouvert U de R
2 , et M 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ U.
Si f présente un extremum en M 0 , alors
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) =
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) = 0
On dit que (x 0 , y 0 ) est un point critique de f .
• Une condition suffisante d’extremum :
Soit f de classe C
2 sur l’ouvert U de R
2 , et M 0 = (x 0 , y 0 ) ∈ U.
Si, au point M 0 , on a
• p = q = 0 ; rt − s
2
> 0 ; r < 0 (ou t < 0),
alors f (M 0 ) est maximum local de f .
• p = q = 0 ; rt − s
2
> 0 ; r > 0 (ou t > 0),
alors f (M 0 ) est minimum local de f .
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