Partie 1 – Analyse
Pratiquement, pour calculer f
x (x, y), on calcule la dérivée de f considérée comme une fonction de x, la variable y étant considérée comme une
constante, et de même pour f
y (x, y) :
f (x, y) = xy
2 +
x
y
+ x
3 e
−y + y pour (x, y) ∈ R × R
∗
f
x (x, y) = y
2 +
1
y
+ 3x
2 e
−y ; f
y (x, y) = 2xy −
x
y 2 − x
3 e
−y + 1
Dérivées partielles d’ordre 2. On réitère le processus, ce qui conduit
à 4 dérivées partielles d’ordre 2. En procédant méthodiquement :
∂
2 f
∂x 2 (x, y) =
∂
∂x
∂f
∂x
(x, y)
;
∂
2 f
∂y∂x
(x, y) =
∂
∂y
∂f
∂x
(x, y)
∂
2 f
∂x∂y
(x, y) =
∂
∂x
∂f
∂y
(x, y)
;
∂
2 f
∂y 2 (x, y) =
∂
∂y
∂f
∂y
(x, y)
On note aussi, respectivement, f
x 2 (x, y) , f
yx (x, y) , f
xy (x, y) , f
y 2 (x, y).
Ainsi, pour l’exemple ci-dessus, on a :
f
x 2 (x, y) = 6xe
−y ; f
yx (x, y) = 2y −
1
y 2 − 3x
2 e
−y
f
xy (x, y) = 2y −
1
y 2 − 3x
2 e
−y ; f
y 2 (x, y) = 2x +
2x
y 3 + x
3 e
−y
5.2 Propriétés
Définitions. Soit D une partie non vide, ouverte ou fermée, de R
2 , et
f : D → R.
On dit que :
• f est continue en M 0 ∈ D ssi
∀´ > 0, ∃a > 0, M ∈ D et d (M 0 , M) < a ⇒ d ( f (M 0 ) , f (M)) < ´
•f est continue sur D ssi f est continue en tout point de D.
• f est de classe C
1 sur D ssi les dérivées partielles d’ordre 1 de f existent
et sont continues sur D.
• f est de classe C
2 sur D ssi les dérivées partielles d’ordre 2 de f existent
et sont continues sur D.
L’ensemble des fonctions continues (resp. de classe C
1 , de classe C
2 ), sur
D est noté C
0 (D) (resp. C
1 (D) , C
2 (D)).
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