Chapitre 1 – Étude de fonctions
Un fermé de R
2 est une partie F de R
2 telle que :
∀n ∈ N, (x n , y n ) ∈ F ; lim
n→+∞
x n = x ; lim
n→+∞
y n = y
⇒ (x, y) ∈ F
Un ensemble borné de R
2 est une partie B de R
2 telle que :
∃M 0, ∀ (x, y) ∈ B, d ((0, 0) , (x, y)) M
Ces définitions n’ont pas à être mémorisées. Le fait que tel ensemble
soit ouvert, fermé ou borné devrait vous être précisé.
Problème de l’optimisation. Soit D une partie de R
2 , et soit f une
fonction de D dans R. On cherche à déterminer les extrema locaux,
ou relatifs, de f sur D, c’est-à-dire les valeurs f (M 0 ) de f telles que :
∃a > 0, [M ∈ D et d (M 0 , M) a ⇒ f (M 0 ) f (M)]
(maximum local), ou
∃a > 0, [M ∈ D et d (M 0 , M) a ⇒ f (M 0 ) f (M)]
(minimum local).
Si l’inégalité a lieu pour tout (x, y) ∈ D, on parle d’extremum, de maximum, de minimum global, ou absolu.
Pour l’aide à la mémorisation, les résultats pour les fonctions d’une
variable sont :
• Si f est continue sur l’intervalle fermé borné [a ; b], alors f admet un
minimum et un maximum (globaux).
• Si f est de classe C
1 sur l’intervalle ouvert I, et si f (x 0 ) est un extremum
local, alors f (x 0 ) = 0.
• Si f est de classe C
2 sur l’intervalle ouvert I, si f (x 0 ) = 0 et si
f (x 0 ) > 0 (resp. f (x 0 ) < 0), alors f (x 0 ) est un minimum local (resp.
un maximum local). (Attention au sens des inégalités.)
Dérivées partielles
Dérivées partielles d’ordre 1. Par définition, sous réserve de limite
finie :
∂f
∂x
(x 0 , y 0 ) = lim
x→x0
f (x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 )
x − x 0
∂f
∂y
(x 0 , y 0 ) = lim
y→y0
f (x 0 , y) − f (x 0 , y 0 )
y − y 0
On note aussi, respectivement : f
x (x 0 , y 0 ) , f
y (x 0 , y 0 ).
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