Partie 1 – Analyse
y
r > 1
r = 1
r < 0
0 < r < 1
x
1
1
0
Fig. 1.2 Fonctions puissances x → x
r , x > 0
4.3 Fonction partie entière
La partie entière du réel x, notée Ent (x), ou x, est définie par :
Ent (x) = k ⇔ k ∈ Z et k x < k + 1
Ainsi, Ent (3, 5) = 3, Ent (−4, 8) = −5, Ent (7) = 7.
La fonction partie entière est continue à droite en tout point de R ; mais
elle n’est pas continue à gauche en k ∈ Z :
lim
x→k −
Ent (x) = k − 1 = k = Ent (k)
La fonction Ent est donc continue sur R \ Z ; l’ensemble de ses points
de discontinuité est Z.
La fonction mantisse, m (x) = x − Ent (x), donne un exemple de fonction périodique de période 1 : ∀x ∈ R, m (x + 1) = m (x).
5. Fonctions de deux variables
5.1 Généralités
Éléments de topologie de R
2 . Soit M 0 = (x 0 , y 0 ) et M = (x, y) deux
points de R
2 . La distance euclidienne d (M 0 , M) est définie par
d (M 0 , M) =
(x − x 0 )
2 + (y − y 0 )
2
Un ouvert de R
2 est une partie U de R
2 telle que :
∀M 0 ∈ U , ∃a > 0 , d (M 0 , M) < a ⇒ M ∈ U
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y
r > 1
r = 1
r < 0
0 < r < 1
x
1
1
0
Fig. 1.2 Fonctions puissances x → x
r , x > 0
4.3 Fonction partie entière
La partie entière du réel x, notée Ent (x), ou x, est définie par :
Ent (x) = k ⇔ k ∈ Z et k x < k + 1
Ainsi, Ent (3, 5) = 3, Ent (−4, 8) = −5, Ent (7) = 7.
La fonction partie entière est continue à droite en tout point de R ; mais
elle n’est pas continue à gauche en k ∈ Z :
lim
x→k −
Ent (x) = k − 1 = k = Ent (k)
La fonction Ent est donc continue sur R \ Z ; l’ensemble de ses points
de discontinuité est Z.
La fonction mantisse, m (x) = x − Ent (x), donne un exemple de fonction périodique de période 1 : ∀x ∈ R, m (x + 1) = m (x).
5. Fonctions de deux variables
5.1 Généralités
Éléments de topologie de R
2 . Soit M 0 = (x 0 , y 0 ) et M = (x, y) deux
points de R
2 . La distance euclidienne d (M 0 , M) est définie par
d (M 0 , M) =
(x − x 0 )
2 + (y − y 0 )
2
Un ouvert de R
2 est une partie U de R
2 telle que :
∀M 0 ∈ U , ∃a > 0 , d (M 0 , M) < a ⇒ M ∈ U
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