Chapitre 1 – Étude de fonctions
• x ∈ R
+∗ , p ∈ Z, q ∈ N ∗ : x
p
q =
q
√
x p =
q
√
x
p
avec q
√ y défini, pour y 0, par q
√ y 0 et
q
√ y
q = y
En particulier, x
1
2 =
√
x ; x
1
3 =
3
√
x ; x
−
1
2 =
1
√
x
• x ∈ R
+∗ , r ∈ R : x
r
= e
r ln x
Règles de calcul
À chaque fois que toutes les écritures sont bien définies :
x
r+r
= x
r x
r
; x
−r
=
1
x r ; x
r−r
=
x
r
x r ; (x
r )
r
= x
rr
xx
r = x
r x
r ;
1
x
r
=
1
x r ;
x
x
r =
x
r
x r
Étude
• Avec n ∈ N ∗ : x → x
n est C ∞ sur R, de dérivée x → nx
n−1 , paire si
n est pair, impaire si n est impair. Avec p ∈ N ∗ :
x
−∞
0
+∞
x
2p
+∞ ∞ 0 +∞
x
−∞
0
+∞
x
2p−1
−∞ ∞ 0 +∞
• Avec r ∈ R \ Z, x → x
r est définie sur R
+∗ , prolongeable par continuité en 0 si r 0. Ce prolongement est de classe C
1 si r 1.
Dans le cas général (r ∈ R), les propriétés de croissance et de limite de la
fonction R
+
→ R
+ , x → x
r se voient sur le graphique (fig. 2).
y
y = exp (x)
y = x
y = ln(x)
1
x
1
0
Fig. 1.1 Fonctions exponentielle et logarithme népérien
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