Partie 1 – Analyse
Propriétés
Visibles sur le graphique (fig. 1) :
• ln est une bijection continue strictement croissante de R
+∗ sur R.
ln 1 = 0 ; ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1 ; ln x > 0 ⇔ x > 1.
lim
x→0
ln x = −∞ ; lim
x→+∞
ln x = +∞ ; lim
x→+∞
ln x
x
= 0.
• exp est une bijection continue strictement croissante de R sur R
+∗ .
e
0
= 1 ; e
x
< 1 ⇔ x < 0 ; e
x
> 1 ⇔ x > 0.
lim
x→−∞
e
x
= 0 ; lim
x→+∞
e
x
= +∞ ; lim
x→+∞
e
x
x
= +∞.
Autres propriétés analytiques :
• ∀a > 0, lim
x→0
x
a ln x = 0 ; lim
x→+∞
ln x
x a = 0
ln est C ∞ sur R
+∗ ; ∀x > 0, ln
(x) =
1
x
; lnx ∼
1
x − 1.
• ∀a > 0, lim
x→+∞
e
x
x a = +∞.
exp est C ∞ sur R. ∀x ∈ R, exp (x) = exp (x) ; e
x
− 1 ∼
0
x.
• ∀x ∈ R, ln (e x ) = x ; ∀x > 0, e
ln x
= x.
Propriétés algébriques : (a, b > 0 ; x, y ∈ R)
ln 1 = 0 ; ln e = 1
e
0
= 1 ; e
1
= e
ln (ab) = ln a + ln b
e
x+y
= e
x e
y
ln
1
a
= − ln a
e −x =
1
e x
ln
a
b
= ln a − ln b
e
x−y
=
e
x
e y
ln (a x ) = x ln a
(e x )
y
= e
xy
4.2 Fonctions puissances
Définitions
• x ∈ R, n ∈ N ∗ : x
n
= x × · · · × x (n facteurs)
• x ∈ R ∗ , n ∈ Z − : x
n
=
1
x −n si n < 0 ; x
0
= 1
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