Chapitre 1 – Étude de fonctions
Le point M 0 (x 0 , f (x 0 )) est un point d’inflexion de la courbe C f ssi la
tangente à C f au point d’abscisse x 0 traverse C f .
La tangente à C f au point d’abscisse x ayant pour équation
y = f (x) + f
(x) (t − x) ,
f est convexe sur I ssi, quels que soient x, t dans I :
f (t) f (x) + f
(x) (t − x) .
Proposition
Pour f de classe C
2 sur l’intervalle I:
f convexe ⇔ f
> 0.
f concave ⇔ f
< 0.
Si f s’annule en changeant de signe en x 0 , alors le point
M 0 (x 0 , f (x 0 )) est un point d’inflexion pour C f .
Exemples d’applications :
• La fonction exponentielle est convexe sur R. L’équation de la tangente à C exp au point d’abscisse 0 est y = x + 1, on a donc :
∀x ∈ R, e
x
x + 1
• La fonction ln est concave sur ]0 ; + ∞[. L’équation de la tangente à
C ln au point d’abscisse 1 est y = x − 1, on a donc
∀x > 0, ln x x − 1
4. Fonctions usuelles
4.1 Fonctions exponentielle et logarithme népérien
Définitions. ln est la primitive de la fonction x →
1
x sur ]0 ; + ∞[ qui
s’annule en 1:
∀x > 0, ln
(x) =
1
x
, et ln 1 = 0 ; ou bien ∀x > 0, ln x =
x
1
1
t
dt
exp est la bijection réciproque de la fonction ln :
exp : R → R
+∗ , y → exp (y) = x tel que ln x = y
On note exp (y) = e
y ; e ≈ 2, 718.
53