Partie 1 – Analyse
Si f a une limite infinie en a, alors f n’est pas dérivable en a. C f admet
une (demi-) tangente verticale au point d’abscisse a.
Pour établir que f admet une limite finie en a, on pourra être amené à
utiliser les développements limités :
f (x) =
ln (1 + x)
x
si x ∈ ]0 ; + ∞[ ; f (0) = 1.
• f est continue sur ]0 ; + ∞[ (quotient de fonctions continues avec le
dénominateur qui ne s’annule pas), et en 0 (f (x) est équivalent en 0 à
x
x = 1, donc lim
0
f = 1 = f (0)), donc f est continue sur [0 ; + ∞[.
• f est de classe C
1 sur ]0 ; + ∞[ comme quotient de fonctions de
classe C
1 avec le dénominateur qui ne s’annule pas. Pour x > 0, on
obtient
f
(x) =
x − (1 + x) ln (1 + x)
x 2 (1 + x)
• Pour passer à la limite x → 0, on a une forme indéterminée, et on
ne peut pas utiliser l’équivalent de ln (1 + x) dans un somme. Mais on
peut remplacer ln (1 + x) par son DL en 0 (l’ordre 2 suffit) :
f
(x) =
x − (1 + x)
x −
x
2
2 + x
2
´ (x)
x 2 ln (1 + x)
=
x −
x −
x
2
2 + x
2
´ (x) + x
2
x 2 (1 + x)
=
−
x
2
2 + x
2
´ (x)
x 2 (1 + x)
=
−
1
2 + ´ (x)
1 + x
La limite ´ en 0 est égale à 0, on obtient donc : f (x) tend vers −
1
2
quand x tend vers 0.
• f est donc de classe C
1 sur [0 ; + ∞[, et f (0) = −
1
2 .
3.3 Dérivée seconde
Définitions
Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I, x 0 ∈ I.
On dit que f est convexe sur I ssi la courbe C f est au-dessus de ses
tangentes en tout point de I.
On dit que f est concave ssi la courbe C f est en-dessous de ses tangentes
en tout point de I.
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