Chapitre 1 – Étude de fonctions
Inégalités des accroissements finis
• Soit f une fonction dérivable sur [a ; b], avec a b, telle que :
∀x ∈ [a ; b], m f (x) M. Alors :
m (b − a) f (b) − f (a) M (b − a)
• Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle I telle que
∀x ∈ I, |f (x)| k. Alors, pour tout x 1 , x 2 appartenant à I :
|f (x 1 ) − f (x 2 )| k|x 1 − x 2 |
Dans la première inégalité des accroissements finis, on a a < b. Dans la
deuxième inégalité, x 1 et x 2 sont dans un ordre quelconque. On parle
aussi de « formule des accroissements finis ».
Exemple d’application : montrons que pour tout n ∈ N ∗ ,
1
n + 1
ln (n + 1) − ln (n)
1
n
• On repère quelle fonction f et quelles valeurs a, b on choisit, en
comparant la formule générale et le résultat à obtenir. Ici, on voit que
l’on doit prendre f (x) = ln x, a = n, b = n + 1.
• On encadre f sur l’intervalle choisi. Ici :
f
(x) =
1
x
, donc
1
n + 1
f
(x)
1
n
pour tout x ∈ [n ; n + 1] .
• On applique la formule, on vérifie que ça marche, puis on rédige.
Exemple de rédaction : soit f (x) = ln x, x > 0. ∀x ∈ [n ; n + 1],
1
n+1 f (x) =
1
x
1
n ,
donc, d’après la formule des accroissements finis :
1
n + 1
(n + 1 − n) ln (n + 1) − ln (n)
1
n
(n + 1 − n)
1
n + 1
ln (n + 1) − ln (n)
1
n
Théorème du prolongement de la dérivée
Soit f continue sur [a ; b], de classe C
1 sur ]a ; b] et telle que f ait
une limite finie en a.
Alors f est de classe C
1 sur [a ; b], et f (a) = .
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