Partie 1 – Analyse
(Formules d’emploi très fréquent.)
f (x) =
1
x 3 = x
−3 ; f
(x) = −3x
−4
= −
3
x 4 , x = 0 ;
f (x) = x
√
x = xx
1
2 = x
3
2 ; f
(x) =
3
2
x
1
2 =
3
2
√
x, x 0.
• On retient les cas particuliers du c) :
(u
r )
= u
ru
r−1 ;
√
u
=
u
2
√
u
;
ln |u|
=
u
u
; (e
u )
= u
e
u
• Utilisation de la dérivée de u
r :
f (x) =
1
(1 − x)
2 = (1 − x)
−2 ;
f
(x) = (−1) (−2) (1 − x)
−3
=
2
(1 − x)
3
• On utilise le b) et le c) pour montrer qu’une fonction est dérivable (et
calculer sa dérivée) sur un intervalle. En un point, on peut être amené
à revenir à la définition :
f (x) =
ln x
x − ln x
si x > 0 ; f (0) = −1.
Sur ]0 ; + ∞[, f est dérivable car c’est le quotient de deux fonctions
dérivables avec le dénominateur qui ne s’annule pas.
En 0,
f (x)−f (0)
x−0
= · · · =
1
x−ln x −→
x→0
0, donc f est dérivable en 0, et
f (0) = 0. (On pourrait aussi écrire f
d (0) = 0.)
Applications
Application au sens de variations d’une fonction
Soit f dérivable sur l’intervalle I.
Si f 0 (resp. f 0) sur I, alors f est croissante (resp. décroissante)
sur I.
Si f > 0 (resp. f < 0) sur I sauf en un nombre fini de points, alors
f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur I.
Application aux tangentes à une courbe
Si f est dérivable en x 0 , alors la courbe représentative C f admet une
tangente au point d’abscisse x 0 . Cette tangente a pour coefficient
directeur f (x 0 ) et a pour équation y − f (x 0 ) = f (x 0 ) (x − x 0 ).
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