Chapitre 1 – Étude de fonctions
3.2 Dérivée première
Calculs
a) Dérivées des fonctions usuelles
fonction
dérivée
commentaire
x → b
x → 0
sur R
x → x
n
x → nx
n−1
sur R si n ∈ N ∗ , R ∗ si n ∈ Z −
x → x
r
x → rx
r−1
sur R, R ∗ , R ∗+ suivant la valeur de r ∈ R
x → ln |x|
x →
1
x
sur R ∗
x → e
x
x → e
x
sur R
b) Somme, produit, quotient : soit u et v dérivables sur I, a ∈ R.
Alors u + v, au, uv sont dérivables sur I, et
(u + v)
= u
+ v
; (au)
= au
; (uv)
= u
v + uv
Si de plus v ne s’annule pas sur I, alors
1
v et
u
v sont dérivables sur I, et
1
v
= −
v
v 2 ;
u
v
=
u v − v u
v 2
.
c) Composée : soit u dérivable sur I et f dérivable sur u (I). Alors
la composée x → f (u (x)) est dérivable sur I, de dérivée
x → u
(x) f (u (x)) .
d) Réciproque : si f est dérivable et f ne s’annule pas sur l’intervalle I, alors f est une bijection dont la réciproque est dérivable sur
l’intervalle J = f (I), et on a, pour tout y ∈ J:
f
−1
(y) =
1
f
f −1 (y)
Exemples de mise en œuvre :
• Utilisation de la dérivée de x → x
r :
f (x) =
1
x
; f
(x) = −
1
x 2 pour x = 0
f (x) =
√
x ; f
(x) =
1
2
√
x
pour x > 0
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