Partie 1 – Analyse
• Soit n ∈ N. f est de dite de classe C
n sur I, ssi f est au moins n fois
dérivable sur I, la dérivée n-ème f
(n) étant continue sur I.
• f est dite de classe C ∞ sur I ssi f est indéfiniment dérivable sur I.
• Pour n ∈ N ∪ {∞}, C
n (I) désigne l’ensemble des fonctions de classe
C
n (ou : C
n ) sur I. En particulier, C
0 (I) est l’ensemble des fonctions
continues sur I.
• On définit aussi la dérivée à droite en x 0 :
f
d (x 0 ) = lim
x→x
+
0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
sous réserve de limite finie. Définition analogue pour la dérivée à gauche.
Quelques propriétés :
• f dérivable en x 0 ∈ ]a, b[ ⇔ f dérivable à gauche et à droite en x 0 , et
f
d (x 0 ) = f
g (x 0 ) .
• f dérivable sur [a, b] ⇔ f dérivable sur ]a ; b[, dérivable à droite en a,
dérivable à gauche en b.
• f est dérivable en x 0 ssi
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + f
(x 0 ) h + h´ (h) , avec lim
0
h = 0
(développement limité d’ordre 1 de f en x 0 ).
• Si f est dérivable en x 0 , alors f est continue en x 0 . Si f est C
1 sur I,
alors f est dérivable sur I. Les réciproques sont fausses.
• C
0 (I) ⊃ C
1 (I) ⊃ C
2 (I) ⊃ . . . ⊃ C ∞ (I).
Opérations
• Les fonctions polynômes, la fonction exponentielle, sont de classe
C ∞ sur R. Les fonctions ln, racine carrée, x → x
r avec r > 0, sont
de classe C ∞ sur ]0 ; + ∞[.
Soit n ∈ N ∪ {∞}.
• La somme, le produit, le quotient avec le dénominateur qui ne
s’annule pas de deux fonctions C
n sur I sont des fonctions C
n sur I.
• Si u est C
n sur I et f est C
n sur u (I), alors la composée f ◦ u est C
n
sur I.
On montre qu’une fonction f est de classe C
n sur un intervalle, en
disant que f est, suivant le cas, la somme, le produit. . . de fonctions
de classe C
n . Attention au cas particulier n = 1, voir § 1.3.2.
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