Chapitre 1 – Étude de fonctions
2.4 Image d’un segment par une fonction continue
Un segment de R est un intervalle fermé borné.
L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Si I = [a ; b], on a donc, avec f continue sur I : f (I) = [m ; M] .
m et M sont respectivement le minimum et le maximum de f sur I.
On note
m = min
t∈[a ; b]
f (t) ; M = max
t∈[a ; b]
f (t)
La détermination de f (I) se fait en utilisant le tableau de variations.
Exemple
x
−2
0
3
5
f (x)
5
−3
8
3
En supposant f continue, l’image de l’intervalle [−2 ; 5] est l’intervalle [−3 ; 8] Sans cette supposition, on pourrait affirmer seulement
f ([−2 ; 5]) ⊂ [−3 ; 8].
3. Calcul différentiel
3.1 Définitions – Opérations
Définitions
Soit f une fonction définie sur l’intervalle I, et x 0 ∈ I.
• f est dite dérivable en x 0 ssi il existe un nombre réel noté f (x 0 ) tel
que :
lim
x→x0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
= f
(x 0 )
• f est dite dérivable sur I ssi f est dérivable en tout point de I. La
fonction
f
: I → R, x 0 → f
(x 0 )
est alors la dérivée de f sur I.
• Sous réserve d’existence, on définit la dérivée seconde de f :
f =
f . De façon générale, on définit, sous réserve d’existence,
la dérivée n-ème de f par :
f
(0)
= f ; f
(n)
=
f
(n−1)
si n ∈ N
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