Partie 1 – Analyse
Proposition. Soit f une fonction continue et strictement monotone
sur l’intervalle [a ; b], avec f (a) f (b) < 0. Alors l’équation f (x) = 0
admet une unique solution dans ]a ; b[.
Exemple. En étudiant f définie par f (x) = x
3
− 3x
2 + 1, on obtient
x
−∞
0
2
+ ∞
f (x) −∞
∞
1
−3
+∞
On applique trois fois la proposition précédente :
Sur ]−∞ ; 0], f est continue et strictement croissante, f (0) > 1 et
lim
−∞
f = −∞ , donc l’équation f (x) = 0 admet une unique solution.
Rédaction analogue pour ]0 ; 2[ et ]2 ; + ∞[.
On montre ainsi que l’équation f (x) = 0 admet exactement trois solutions a, b, c, avec a < 0 < b < 2 < c.
Méthode de dichotomie pour une valeur approchée de la
solution.
On est dans les hypothèses de la proposition ci-dessus. Pour fixer les
idées, on suppose f strictement croissante, et donc f (a) < 0 < f (b).
On omet la partie déclarative du programme, y compris la déclaration de la fonction :
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