Chapitre 1 – Étude de fonctions
Application 1 : existence et étude d’une fonction comme réciproque d’une bijection.
Exemple de la fonction exponentielle.
On vérifie les hypothèses du théorème :
La fonction ln est continue et strictement croissante sur l’intervalle
]0 ; + ∞[.
On donne les éléments nécessaires pour déterminer l’intervalle d’arrivée :
lim
x→0
ln x = 0,
lim
x→+∞
ln x = +∞.
On donne les conclusions, en citant le théorème utilisé :
Donc, d’après le théorème de la bijection monotone, La fonction ln est
une bijection de ]0 ; + ∞[ sur ]−∞ ; + ∞[ = R.
La bijection réciproque
exp : R → ]0 ; + ∞[ , y → exp (y) = x tel que ln x = y
est continue et strictement croissante sur R.
C ln et C exp sont symétriques par rapport à D d’équation y = x.
À partir de ces éléments, on peut donner le tableau de variations de la
fonction exponentielle.
Vous pouvez procéder au même travail de définition et d’étude de
la fonction racine carrée.
Vous adapterez l’utilisation (fréquente) de ce théorème à la question
posée.
Application 2 : existence de solutions à une équation. Une grande
variété de situations est possible, donnons quelques exemples :
• Équation f (x) = k, k fixé dans R. Soit f (x) = e
x
− x. On a
x
−∞
0
+ ∞
f (x)
+∞
∞
1
+∞
f réalise une bijection de ]−∞ ; 0] sur [1 ; + ∞[, donc, pour tout k dans
]1 ; + ∞[, il existe un unique u k négatif tel que f (u k ) = k. De même il
existe un unique v k positif tel que f (v k ) = k.
• Équation f (x) = 0. On peut utiliser, en l’adaptant, la proposition
suivante :
45