Partie 1 – Analyse
Vous utiliserez ce théorème de façon très précise, mais brève :
• Repérer si la fonction est une somme, un produit, une composée. . . de fonctions continues et la traiter en tant que telle.
• Si la fonction est un quotient, ne pas oublier de mentionner – et
de vérifier − que le dénominateur ne s’annule pas.
• Si la fonction est une composée f ◦ u, vérifier que u (I) est inclus
dans un ensemble sur lequel f est continue.
Exemple : x → x
2 + 1 est continue et (strictement) positive sur R,
ln est continue sur ]0 ; + ∞[, donc la composée x → ln
x
2 + 1
est
continue sur R.
• Ne pas évoquer vaguement « somme, produit et quotient » de
fonctions continues, ou « composée » de fonctions continues (« composée » a ici un sens précis), ou encore les « fonctions usuelles », qui
ne sont pas toutes continues partout !
• Enfin, ne pas entrer trop dans les détails, sous peine d’avoir une
rédaction interminable où le risque d’erreur augmente. L’essentiel
est que vous ayez compris comment on « fabrique » une fonction
continue à partir de fonctions continues plus simples.
2.3 Propriétés des fonctions continues
Théorème des valeurs intermédiaires
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Entre deux valeurs que prend une fonction continue sur un intervalle, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires. Théorème
admis.
Corollaire : théorème de la bijection monotone
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur
l’intervalle I. Alors f réalise une bijection de l’intervalle I sur
l’intervalle J = f (I). De plus la bijection réciproque :
f
−1 : J → I ; y → f
−1 (y) = x tel que f (x) = y
est continue, strictement monotone, de même sens de variations que
f . Dans un repère orhonormé, les courbes représentatives de f et f −1
sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
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Vous utiliserez ce théorème de façon très précise, mais brève :
• Repérer si la fonction est une somme, un produit, une composée. . . de fonctions continues et la traiter en tant que telle.
• Si la fonction est un quotient, ne pas oublier de mentionner – et
de vérifier − que le dénominateur ne s’annule pas.
• Si la fonction est une composée f ◦ u, vérifier que u (I) est inclus
dans un ensemble sur lequel f est continue.
Exemple : x → x
2 + 1 est continue et (strictement) positive sur R,
ln est continue sur ]0 ; + ∞[, donc la composée x → ln
x
2 + 1
est
continue sur R.
• Ne pas évoquer vaguement « somme, produit et quotient » de
fonctions continues, ou « composée » de fonctions continues (« composée » a ici un sens précis), ou encore les « fonctions usuelles », qui
ne sont pas toutes continues partout !
• Enfin, ne pas entrer trop dans les détails, sous peine d’avoir une
rédaction interminable où le risque d’erreur augmente. L’essentiel
est que vous ayez compris comment on « fabrique » une fonction
continue à partir de fonctions continues plus simples.
2.3 Propriétés des fonctions continues
Théorème des valeurs intermédiaires
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Entre deux valeurs que prend une fonction continue sur un intervalle, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires. Théorème
admis.
Corollaire : théorème de la bijection monotone
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur
l’intervalle I. Alors f réalise une bijection de l’intervalle I sur
l’intervalle J = f (I). De plus la bijection réciproque :
f
−1 : J → I ; y → f
−1 (y) = x tel que f (x) = y
est continue, strictement monotone, de même sens de variations que
f . Dans un repère orhonormé, les courbes représentatives de f et f −1
sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
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