Chapitre 1 – Étude de fonctions
2.2 Opérations sur les fonctions continues
Théorème
• Les fonctions polynômes, la fonction exponentielle sont continues
sur R. La fonction ln est continue sur ]0 ; + ∞[.
La fonction racine carrée est continue sur [0 ; + ∞[, ainsi que les
fonctions x → x
r , avec r > 0.
• La somme, le produit, le quotient avec le dénominateur qui ne
s’annule pas de deux fonctions continues sur I sont des fonctions
continues sur I.
• Si u est continue sur I et f continue sur u (I), alors la composée
f ◦ u est continue sur I.
On utilise ce théorème pour montrer qu’une fonction est continue sur
un intervalle. Il s’étend sans difficulté au cas où f est définie sur une
réunion d’intervalles (R ∗ par exemple). Mais on peut être amené à revenir à la définition si la fonction f est définie de façon particulière en un
(ou plusieurs) points, ou s’il y a problème de « raccordement » :
• Définition particulière en un point : soit f la fonction définie sur
[0 ; + ∞[ par
f (x) =
x ln x
x − 1
si x ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ ; f (0) = 0 ; f (1) = 1
− f est continue sur ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; + ∞[ en tant que quotient de deux
fonctions continues avec le dénominateur qui ne s’annule pas.
− f est continue en 0, car lim
x→0
x ln x = 0, donc
lim
0
f = 0 = f (0) .
− f est continue en 1, car ln x ∼
1
x − 1, donc f (x) ∼
1
x −→
x→1
1 = f (1).
− Donc f est continue sur [0 ; + ∞[.
• Problème de raccordement : soit f la fonction définie sur R par
f (x) = x (1 − x) si x ∈ [0 ; 1] ; f (x) = 0 sinon.
− f est continue sur [0 ; 1] ( fonction polynôme) et sur ]−∞ ; 0[ et
]1 ; + ∞[ ( fonction polynôme).
− f est continue en 0 car lim
0 −
f = lim
0 +
f = 0 = f (0).
− f est continue en 1 car lim
1 −
f = lim
1 +
f = 0 = f (1).
− Donc f est continue sur R.
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