Partie 1 – Analyse
Au voisinage de +∞, C f est au-dessus de D car
1
x ´
1
x
est négligeable
devant
1
2x , qui donne donc le signe de f (x) − (x − 1) pour les grandes
valeurs de x.
Autres éléments graphiques
f : D → R est paire ssi ∀x ∈ D, −x ∈ D et f (−x) = f (x).
On étudie f sur D ∩ R
+ . Dans un repère orthogonal (xOy), C f est
symétrique par rapport à (Oy).
f : D → R est impaire ssi ∀x ∈ D, −x ∈ D et f (−x) = −f (x).
On étudie f sur D ∩ R
+ . Dans un repère orthogonal (xOy), C f est
symétrique par rapport à O.
Pour le tracé de C f , commencez (s’il y a lieu) par placer les asymptotes, et les points à tangentes remarquables, c’est-à-dire : points à
tangente horizontale, points anguleux (où les dérivées à gauche et
à droite sont différentes), voir § 1.3.2 ; points d’inflexion si ceux-ci
sont demandés, voir § 1.3.3. Le point d’abscisse 0 de C f (s’il existe)
est souvent intéressant à placer.
2. Continuité
2.1 Définitions
Soit I un intervalle de R, et soit x 0 ∈ I.
• Soit f une fonction définie sur I. On dit que f est continue en x 0 ssi
lim
x0
f = f (x 0 )
On définit de même la continuité à droite et à gauche en x 0 .
f est continue en x 0 ∈ ]a ; b[ ssi f continue à droite et à gauche en x 0 .
• On dit que f est continue sur I ssi f est continue en tout point de I.
f est continue sur [a ; b] ssi f est continue sur ]a ; b[, continue à droite en
b et continue à gauche en a.
• Soit f un fonction définie sur I \ {x 0 }. On dit que f est prolongeable
par continuité en x 0 ssi f admet une limite finie en x 0 .
En posant f (x 0 ) = lim
x0
f , on obtient un prolongement de f à I, et ce
prolongement est continu en x 0 .
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Au voisinage de +∞, C f est au-dessus de D car
1
x ´
1
x
est négligeable
devant
1
2x , qui donne donc le signe de f (x) − (x − 1) pour les grandes
valeurs de x.
Autres éléments graphiques
f : D → R est paire ssi ∀x ∈ D, −x ∈ D et f (−x) = f (x).
On étudie f sur D ∩ R
+ . Dans un repère orthogonal (xOy), C f est
symétrique par rapport à (Oy).
f : D → R est impaire ssi ∀x ∈ D, −x ∈ D et f (−x) = −f (x).
On étudie f sur D ∩ R
+ . Dans un repère orthogonal (xOy), C f est
symétrique par rapport à O.
Pour le tracé de C f , commencez (s’il y a lieu) par placer les asymptotes, et les points à tangentes remarquables, c’est-à-dire : points à
tangente horizontale, points anguleux (où les dérivées à gauche et
à droite sont différentes), voir § 1.3.2 ; points d’inflexion si ceux-ci
sont demandés, voir § 1.3.3. Le point d’abscisse 0 de C f (s’il existe)
est souvent intéressant à placer.
2. Continuité
2.1 Définitions
Soit I un intervalle de R, et soit x 0 ∈ I.
• Soit f une fonction définie sur I. On dit que f est continue en x 0 ssi
lim
x0
f = f (x 0 )
On définit de même la continuité à droite et à gauche en x 0 .
f est continue en x 0 ∈ ]a ; b[ ssi f continue à droite et à gauche en x 0 .
• On dit que f est continue sur I ssi f est continue en tout point de I.
f est continue sur [a ; b] ssi f est continue sur ]a ; b[, continue à droite en
b et continue à gauche en a.
• Soit f un fonction définie sur I \ {x 0 }. On dit que f est prolongeable
par continuité en x 0 ssi f admet une limite finie en x 0 .
En posant f (x 0 ) = lim
x0
f , on obtient un prolongement de f à I, et ce
prolongement est continu en x 0 .
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