Chapitre 1 – Étude de fonctions
Étude systématique dans le cas lim
±∞
f = ±∞
• Si lim
x→±∞
f (x)
x
= 0 :
C f admet une branche parabolique de direction (Ox)
• Si lim
x→±∞
f (x)
x
= ±∞ :
C f admet une branche parabolique de direction (Oy)
• Si lim
x→±∞
f (x)
x
= a ∈ R
∗ :
− dans le cas général : C f a pour direction asymptotique la droite
d’équation y = ax
− si lim
x→±∞
( f (x) − ax) = b ∈ R :
C f admet la droite d’équation y = ax + b pour asymptote
− si lim
x→±∞
( f (x) − ax) = ±∞ :
C f admet une branche parabolique de direction la droite d’équation
y = ax
Avant de faire l’étude systématique ci-dessus, s’assurer de n’être pas dans
le cas f (x) = ax + b + ´ (x) évoqué plus haut. L’énoncé peut demander
de déterminer a, b et ´ par identification.
On peut être amené à utiliser les DL pour l’étude d’une branche infinie.
• Pour x = −1, f (x) =
x
2
x−1 = ax + b +
c
x−1 =
ax
2 +(b−a)x+c−b
x−1
⇔
a = 1, b − a = 0, c − b = 0 ; donc f (x) = x + 1 +
1
x−1
On a donc une asymptote D d’équation y = x+1, et C f est au-dessus de
D pour les points d’abscisse > −1, en-dessous pour les points d’abscisse
< −1.
• Avec x =
1
h , au voisinage de +∞:
f (x) = xe
−
1
x =
1
h
1 − h +
h
2
2
+ h
2
´ (h)
=
1
h
− 1 +
h
2
+ h´ (h)
= x − 1 +
1
2x
+
1
x
´
1
x
.
D d’équation y = x − 1 est asymptote à C f .
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