Partie 1 – Analyse
1.6 Autres techniques
• Limite de f (x) = ln
e
x
− e −x −x en +∞. Il y a forme indéterminée,
on ne peut utiliser d’équivalents (qui ne passent ni dans les logarithmes
ni dans les sommes), et un DL ne semble pas très naturel. L’idée est
d’utiliser x = e
ln x , puis les règles de calcul pour les logarithmes :
f (x) = ln
e
x
− e
−x
− ln e
x
= ln
e
x
− e −x
e x
= ln
1 − e
−2x
tend vers 0 quand x tend vers +∞.
• Limite de f (x) =
4 + (x + 1)
2
− (x + 1) en +∞. L’utilisation d’un
DL est possible, mais la technique de la « quantité conjuguée » est plus
rapide :
f (x) =
4 + (x + 1)
2
− (x + 1)
4 + (x + 1)
2 + (x + 1)
4 + (x + 1)
2 + (x + 1)
=
4 + (x + 1)
2
− (x + 1)
2
4 + (x + 1)
2 + (x + 1)
=
4
4 + (x + 1)
2 + (x + 1)
tend vers 0 quand x tend vers +∞.
• Limites en +∞ et −∞ de f (x) =
x+1
√
x 2 +1
. L’utilisation des équivalents est possible. On peut aussi mettre le terme dominant en facteur à
l’intérieur du radical :
x + 1
√
x 2 + 1
=
x + 1
x 2
1 +
1
x 2
=
x + 1
|x|
1 +
1
x 2
ce qui permet de conclure en remplaçant |x| par x ou −x, puis en
utilisant les équivalents.
1.7 Branches infinies, éléments graphiques
Asymptotes
• Si lim
x0
f = ±∞ ou lim
x 0 +
f = ±∞ ou lim
x 0 −
f = ±∞, la droite d’équation
x = x 0 est asymptote à la courbe (asymptote verticale) (x 0 ∈ R).
• Si lim
±∞
f = b ∈ R, la droite d’équation y = b est asymptote à la courbe
(asymptote horizontale).
• Si f (x) = ax + b + ´ (x) et lim
±∞
´ = 0, la droite d’équation y = ax + b
est asymptote à la courbe (oblique si a = 0).
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