Chapitre 1 – Étude de fonctions
Propriétés
• Soit le DL d’ordre n de f en 0 : f (x) = P n (x) + x
n
´ (x), avec P n
polynôme de degré n. Alors, si lim
0
u = 0, on a :
f (u (x)) = P n (u (x)) + (u (x))
n
´ (x)
On devrait écrire ´ (u (x)), mais cela n’apporte aucune information, car
la seule chose que l’on sait de ´, c’est que c’est une fonction de limite
nulle en 0.
ln (1 − x) = −x −
x
2
2
−
x
3
3
+ x
3
´ (x) ; e
x
2 = 1 +
x
2
2
+
x
4
6
+ x
4
´ (x)
• Dans le développement du produit de deux DL, on n’écrit pas les
termes qui sont « absorbés » par le terme en x
n
´ (x) dont l’ordre est le
plus petit.
e
x
1 − x
= e
x
×
1
1 − x
=
1 +
x
2
2
+ x
2
´ (x)
1 + x + x
2 + x
2
´ (x)
= 1 + x + x
2 + x
2
´ (x) +
x
2
2
Il est inutile d’écrire les autres termes
x
3
2 ,
x
4
2 , . . .
qui sont tous de la
forme x
2
´ (x) et n’apportent donc aucune précision supplémentaire. Il
reste alors à achever les calculs.
Utilisation
On utilise les DL dans la recherche des limites quand les équivalents
s’avèrent inopérants.
Prouvons que lim
0
f =
1
2
, avec, pour x ∈ R ∗ :
f (x) =
e
x
− 1 − x
x 2
Il s’agit d’une forme indéterminée ; on ne peut utiliser l’équivalent
e
x
− 1 ∼
0
x car ça ne « passe » pas dans les sommes : le numérateur serait
équivalent à 0 ? Mais on peut remplacer e
x par son DL, l’ordre 2 suffit :
f (x) =
1 + x +
x
2
2 + x
2
´ (x) − 1 − x
x 2
=
x
2
2 + x
2
´ (x)
x 2
=
1
2
+ ´ (x)
Ce qui permet de conclure.
Voir d’autres utilisations, § 2.3.2 (théorème de prolongement de la dérivée), § 2.4.4 (étude des branches infinies).
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