Partie 1 – Analyse
´ est une fonction de limite nulle en 0, n ∈ N ∗ , a ∈ R.
e
x
= 1 + x +
x
2
2! + · · · +
x
n
n!
+ x
n
´ (x)
ln (1 + x) = x −
x
2
2
+ · · · + (−1)
n+1 x
n
n
+ x
n
´ (x)
(1 + x)
a
= 1 + ax + · · · +
a (a − 1) (a − n + 1)
n!
x
n + x
n
´ (x)
• Les DL les plus fréquemment utilisés sont les suivants :
e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+ x
2
´ (x) ; e
x
= 1 + x +
x
2
2!
+
x
3
3!
+ x
3
´ (x)
ln (1 + x) = x −
x
2
2
+ x
2
´ (x) ; ln (1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ x
3
´ (x)
• À noter le DL :
1
1−x = 1 + x + x
2 + · · · + x
n + x
n
´ (x), qui se retrouve
à partir de l’identité géométrique.
• On peut écrire, de façon équivalente, e
x
= 1 + x +
x
2
2 + ◦
x
2
, par
exemple. Mais l’écriture adoptée ici semble plus maniable.
Pour la mémorisation, le troisième DL encadré est à rapprocher de
la formule du binôme (le coefficient de x
n comporte n facteurs en
descendant à partir de a, resp. de n, pour le numérateur, resp. le
dénominateur).
On obtient un DL au voisinage de x 0 ∈ R en posant x = x 0 + h, et au
voisinage de ±∞ en posant x =
1
h .
• Ainsi, avec x = 1 + h, on a
x ln x = (1 + h) ln (1 + h)
= (1 + h)
h −
h
2
2
+ h
2
´ (h)
= h −
h
2
2
+ h
2
´ (h)
= x − 1 +
(x − 1)
2
2
+ (x − 1)
2
´ (x − 1) (DL en 1)
• Et avec x =
1
h
:
xe
−
1
x =
1
h
1 − h +
h
2
2
+ h
2
´ (h)
=
1
h
− 1 +
h
2
+ h´ (h)
= x − 1 +
1
2x
+
1
x
´
1
x
(« DL » en + ∞)
38