Chapitre 1 – Étude de fonctions
• lim
x→−∞
e
−x ln (1 + e
x ) = 1 car e −x ln (1 + e
x ) ∼
−∞
e −x e
x
= 1.
On a utilisé lim
x→−∞
e
x
= 0 et ln (1 + y) ∼
0
y.
Attention à utiliser les équivalents à bon escient :
• lim
x→0
−x ln x
1 + x 2 = 0 car lim
x→0
x ln x = 0 : les équivalents sont ici inutiles.
• lim
x→+∞
−x ln x
1 + x 2 = 0 car
−x ln x
1 + x 2 ∼
+∞
−x ln x
x 2 = −
ln x
x
−→
x→0
0 : ne pas
chercher d’équivalent à ln en +∞.
• lim
x→+∞
ln (1 + x)
x
= 0 : ne pas utiliser 1 + x ∼
+∞
x : les équivalents ne
« passent » pas aux logarithmes. Le mieux est d’écrire :
ln (1 + x)
x
=
ln
x
1 +
1
x
x
=
ln x + ln
1 +
1
x
x
=
ln x
x
+
ln
1 +
1
x
x
ce qui permet de conclure.
• u ∼
b
v et lim
b
v = ⇒ lim
b
u = , mais deux fonctions ayant même
limite ne sont pas toujours équivalentes ! Par exemple :
lim
x→0
2x
2
= lim
x→0
x
2
= 0, mais 2x
2
0
x
2
.
• u ∼
b
∈ R
∗
⇒ lim
b
u = : attention, l’écriture u ∼
b
0 n’a aucune
signification, et est à proscrire absolument ! (Idem pour u ∼
b
+∞)
• Réciproquement, lim
b
u = ∈ R
∗
⇒ u ∼
b
.
1.5 Utilisation des développements limités
Développements limités usuels
À partir de l’inégalité de Taylor-Lagrange (§ 3.2.5), on trouve et on
retient les développements limités (DL) d’ordre n au voisinage de
0 suivants :
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